4.4. Числовые характеристики одномерной случайной величины

Математическим ожиданием или средним значением случайной величины называется постоянная (константа), обозначаемая символом ( ) и определяемая равенством:

ПРИМЕР 7: Известны законы распределения СВ и числа очков, выбиваемых первым и вторым стрелками:

		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
		0.15	0.11	0.04	0.05	0.04	0.10	0.10	0.04	0.05	0.12	0.20

		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
		0.01	0.03	0.05	0.09	0.11	0.24	0.21	0.10	0.10	0.04	0.02

Необходимо выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше.

РЕШЕНИЕ: Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее число очков. Тогда по формуле (4.16) вычислим

Так как среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаковое, то предпочтение нельзя отдать ни одному стрелку – они равносильны.

ПРИМЕР 8: Непрерывная СВ равномерно распределена на отрезке . Определим .

РЕШЕНИЕ: а) Прежде всего, определим плотность распределения. Из условия задачи известно:

Используем свойство (4.12):

4.4.1. Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

(4.17)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

(4.18)

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

(4.19)

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий (покажем это свойство для двух СВ).

(4.20)

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю. Пусть математическое ожидание СВ Х равно а, тогда:

(4.21)

Математическое ожидание – одна из характеристик положения СВ. С этой точки зрения математическое ожидание СВ – есть некоторое число, являющееся как бы ее "представителем" и заменяющее СВ при грубых (ориентировочных) расчетах.

ПРИМЕР 9: Найти математическое ожидание случайной в еличины если известно, что

РЕШЕНИЕ: Используя свойства математического ожидания (4.17), (4.18) и (4.19), найдем

4.5. Моменты случайной величины

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статистические моменты, момент инерции и т.п.).

Начальный момент го порядка случайной величины обозначается символом и определяется выражением:

(4.22)

Нетрудно убедиться, что введенная выше характеристика математическое ожидание представляет собой не что иное, как первый начальный момент. Используя символ математического ожидания, выражение (4.22) можно представить в следующем виде:

. (4.23)

Пусть имеется СВ с математическим ожиданием . Введем новое понятие.

Центрированной случайной величиной, соответствующей величине , называется отклонение СВ от ее математического ожидания:

(4.24)

Моменты центрированной СВ называются центральными моментами. Нетрудно показать, что математическое ожидание центрированной СВ равно нулю:

(4.25)

Центральным моментом го порядка случайной величины называется математическое ожидание й степени соответствующей центрированной СВ:

(4.26)

Очевидно, что для любой СВ центральный момент первого порядка равен нулю. Второй центральный момент СВ, ввиду его крайней важности среди других характеристик, называется дисперсией и обозначается :

(4.27)

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

(4.28)

Дисперсия СВ характеризует рассеяние (вариацию, разброс) этой величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину равную .

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) случайной величины называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

(4.29)