4.2.1. Основные свойства плотности распределения

1. Плотность распределения является неотрицательной функцией

(4.11)

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения неубывающая.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице. Действительно,

(4.12)

Геометрически основные свойства плотности распределения означают:

• кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

• площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Рассмотрим несколько примеров.

ПРИМЕР 4: Функция распределения непрерывной СВ равна

Необходимо найти: коэффициент , плотность распределения и, наконец, вероятность

_{РЕШЕНИЕ}: a) Так как функция непрерывная, то при , , то есть

b)

c)

ПРИМЕР 5: СВ подчинена закону распределения с плотностью

Необходимо: a) найти коэффициент , b) построить график плотности распределения c) найти и построить график; d) найти вероятность попадания СВ на участок .

РЕШЕНИЕ: а)

b)

c) Получим выражение для функции распределения (4.10):

d)

4.3. Характеристики положения случайной величины

На практике в теории вероятностей применяют характеристики положения случайных величин, отражающие те или другие особенности распределения.

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность или плотность вероятности достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума в одной точке, распределение называется унимодальным, если же максимум достигается в нескольких точках, распределение называется полимодальным (рис. 4.5).

Рис.4.5. Мода распределения СВ

Медианой случайной величины называется такое ее значение, при котором вероятность того, что СВ одинаково вероятна тому, что СВ _, и будет равна 0.5.

(4.13)

(4.14)

Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (функция распределения равна 0.5) (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Медиана распределения СВ

Квантилью уровня (или квантилью) называется такое значение случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное , то есть

(4.15)

Некоторые квантили получили особое название. Очевидно, что определенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0.5, то есть Квантили и получили название нижней и верхней квартилей соответственно.

С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. Под ной точкой подразумевается квантиль , то есть такое значение случайной величины , при котором

ПРИМЕР 6: Найти моду, медиану, квантиль и 30%-ную точку СВ с плотностью вероятности при

РЕШЕНИЕ: Для нахождения моды распределения необходимо найти максимум плотности (экстремум функции ). Однако эта функция возрастает на заданном интервале, следовательно, максимум достигается при .

Для нахождения медианы воспользуемся формулой (4.14):

Отсюда получим . По формуле (4.10) получим функцию распределения

Учитывая (4.15), найдем квантиль откуда 30%-ную точку случайной величины или квантиль найдем из уравнения откуда