4.1.1. Интегральная функция распределения

Для количественного описания распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события , а вероятностью события где некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от , и является некоторой функцией от . Эта функция называется функция распределения случайной величины и обозначается :

(4.4)

Функцию иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика СВ. Она существует как для дискретных, так и непрерывных СВ. Функция распределения полностью характеризует СВ с вероятностной точки зрения и является одной из форм закона распределения.

Общие свойства интегральной функции распределения:

1. Функция распределения неубывающая функция своего аргумента, тоесть при

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю:

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице:

4. 

График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значение которой начинается от 0 и доходит до 1, причем в отдельных точках функция может иметь разрыв.

Зная ряд распределения дискретной СВ, можно легко построить функцию распределения этой величины. Действительно:

ПРИМЕР 2: Произведем один опыт, в котором может произойти или не произойти событие . Вероятность события равна . СВ число появлений события в опыте (дискретная СВ). Необходимо построить функцию распределения СВ.

РЕШЕНИЕ: Ряд распределения СВ имеет вид:

	0	1
	0.7	0.3

Построим функцию распределения СВ :

1. при

2. при

3. при

ПРИМЕР 3: При тех же условиях (ПРИМЕР 2) провели 4 независимых опыта. Постройте функцию распределения числа появлений события .

РЕШЕНИЕ: Пусть СВ число появлений события в 4 опытах. Эта величина имеет ряд распределения:

	0	1	2	3	4	> 4
	0.2401	0.4116	0.2646	0.0756	0.0081
	0	0.2401	0.6517	0.9163	0.9919	1

Построим функцию распределения СВ Х:

1.	при
2.
3.
4.
5.
6.

4.2. Непрерывная случайная величина, плотность распределения

Случайная величина называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось (либо отрезок (отрезки) числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю.

Для непрерывной случайной величины вероятность попасть на интервал равна

(4.5)

Пусть имеется непрерывная СВ с функцией распределения , которую мы предполагаем непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой СВ на участок от до то есть приращение функции распределения на этом участке:

(4.6)

Найдем отношение этой вероятности к длине участка, то есть среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и устремим к 0. В пределе получим производную функции распределения:

(4.7)

Функция производная функции распределения характеризует плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке.

Эта функция называется плотностью распределения (иначе – "плотностью вероятности") непрерывной СВ .

Плотность распределения является одной из форм закона распределения. Эта форма не является универсальной, так как существует только для непрерывных СВ.

Рассмотрим непрерывную СВ с плотностью распределения и элементарный участок примыкающий к точке

Рис. 4.2. Вероятность попадания на элементарный интервал

Вероятность попадания СВ на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна Геометрически – это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок (см. рис. 4.2).

Выразим вероятность попадания СВ на отрезок от до через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем участке, то есть интегралу:

(4.8)

Геометрически вероятность попадания величины на отрезок равна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и опирающейся на этот участок (рис.4.3).

Формула (4.7) выражает плотность распределения СВ через интегральную функцию распределения. Поставим обратную задачу – выразим функцию распределения через плотность. Согласно определению

(4.9)

Рис. 4.3. Вероятность попадания на интервал

Из формулы (4.9) с учетом (4.8) получим:

(4.10)

Геометрически есть не что иное, как площадь фигуры, ограниченной плотностью распределения (сверху) и осью абсцисс (снизу) и лежащей левее точки (см. рис. 4.4).

Рис.4.4. Вычисление функции распределения через плотность СВ