3.4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Пусть в условиях ПРИМЕРА 5 необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют автомобили. Тогда по теореме сложения вероятностей событий и, учитывая (3.5) получим:

В принципе вычислить каждое слагаемое можно по локальной формуле Муавра-Лапласа, но большое количество слагаемых делает расчет очень трудоемким. В таких случаях справедлива интегральная теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число наступления события в независимых испытаниях заключено в пределах от до (включительно) при достаточно большом числе приближенно равна

(3.13)

где

Для вычисления по этой формуле вводится функция Лапласа (интеграл вероятности):

(3.14)

обладающая следующими свойствами:

1. функция нечетная, то есть ;

2. функция монотонно возрастающая, причем при (практически можно считать, что уже при ).

Учитывая свойства функции Лапласа, окончательно получим:

(3.15)

Интегральная формула, как и локальная тем точнее, чем больше . При условии интегральная формула (3.15) дает незначительную погрешность вычисления вероятностей.

ПРИМЕР 6: По данным ПРИМЕРА 5 вычислим вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют автомобили.

РЕШЕНИЕ: Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа ( ).

Глава 4. Случайные величины

4.1. Классификация случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины

Числовая величина , значение которой может меняться в зависимости от случая, называется случайной величиной (СВ).

В рамках теоретико-вероятностной схемы, когда предполагаем, что имеется некоторое пространство элементарных исходов , случайной величиной называют функцию от элементарных исходов : где .

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывно распределенные.

Дискретные величины в зависимости от элементарных исходов принимает конечное или счетное число различных значений х с соответствующими вероятностями:

. (4.1)

Здесь , обозначает, что случайная величина принимает значение х, то есть { }={ }.

Вероятность события , состоящего в том, что случайная величина принимает одно из значений х, лежащее в пределах , есть

. (4.2)

В формуле (4.2) суммирование производится по конечному или счетному числу значений х, которые может принимать дискретная случайная величина .

Соответствие между возможными значениями СВ и вероятностями этих значений называют распределением вероятностей СВ и обозначают .

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения СВ и соответствующие им вероятности:

			....
			....

Такую таблицу будем называть рядом распределения дискретной СВ.

События , состоящие в том, что в результате испытаний случайная величина примет соответственно значения , являются несовместными и единственно возможными (в таблице перечислены все возможные значения СВ), то есть составляют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Таким образом, для любой дискретной случайной величины справедливо соотношение:

(4.3)

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид часто прибегают к его графическому отображению (рис. 4.1). Такое представление СВ называется многоугольником распределения.

Рис. 4.1. Закон распределения дискретной случайной величины

ПРИМЕР 1: Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

РЕШЕНИЕ: СВ – число неизрасходованных патронов имеет четыре возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Стрелок израсходует весь боезапас, если первые три выстрела – "промахи", а результат четвертого – никак не скажется на оставшемся боезапасе. Останется один патрон, если стрелок дважды промахнется и попадет при третьем выстреле. Если спортсмен сначала промахнется, а затем попадет в мишень, у него останется два патрона, и, наконец, останется три патрона, если будет попадание при первом выстреле. Вероятности этих значений равны соответственно:

	0	1	2	3
	0.064	0.096	0.24	0.6

Очевидно, что ряд распределения не универсальная характеристика. Нетрудно убедиться, что для непрерывной СВ такую характеристику построить нельзя (так как СВ имеет бесчисленное множество зна чений). Поэтому составить таблицу, в которой бы были перечислены все возможные значения СВ невозможно. Кроме того, как мы убедимся в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной СВ обычно не обладает никакой, отличной от нуля, вероятностью.

Однако различные области возможных значений СВ все же не являются одинаково вероятными и для непрерывной СВ существует "распределение вероятностей", хотя и не в том смысле, как для дискретной.