3.1.1. Обобщение схемы Бернулли

Рассмотрим обобщение схемы Бернулли. Пусть производится независимых испытаний, каждое из которых имеет попарно несовместных и возможных исходов, которые обозначим События составляют полную группу событий. Вероятности наступления каждого события в общем случае различны и удовлетворяют условию . В этих условиях для произвольно заданных целых неотрицательных чисел таких, что , определим вероятность того, что при испытаниях исход наступит ровно раз, исход раз и т.д., исход произойдет раз:

(3.8)

Выражение (3.8) называется формулой полиномиального распределения.

ПРИМЕР 3: Игральная кость подбрасывается 15 раз. Какова вероятность события – выпало ровно десять шестерок и три единицы?

РЕШЕНИЕ: Вероятности выпадения шестерки и единицы равны , а вероятность третьего исхода (выпали любые другие грани) равна . Тогда вероятность получить 10 шестерок, 3 единицы и 2 других значения чисел равна:

3.2. Теорема Пуассона (Закон редких событий)

Формула Бернулли удобна для вычисления лишь при сравнительно небольшом числе испытаний . При больших значениях пользоваться этой формулой затруднительно. Еще большая проблема возникает, если в схеме Бернулли число испытаний велико, а вероятность успеха мала.

Пусть так, что Тогда для любого вероятность получить успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха стремится к величине

(3.9)

_{При решении конкретных задач понятия число испытаний – "велико" и вероятность успеха – "мала" – субъективные. При более строгом подходе воспользуемся оценкой погрешности формулы Пуассона:}

(3.10)

ПРИМЕР 4: На предприятии изготовлено и отправлено заказчику 100 000 бутылок пива. Вероятность того, что бутылка может оказаться битой, равна 0.0001. Какова вероятность того, что в отправленной партии будет ровно три битых бутылки?

РЕШЕНИЕ: Воспользуемся формулой Пуассона, учитывая, что

По формуле (3.10) вычислим погрешность, которая не превышает , таким образом, искомая вероятность не превысит .

3.3. Локальная теорема Муавра-Лапласа

Несмотря на элементарность формулы Бернулли при большом числе испытаний непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой (погрешностью). Разрешить эту проблему поможет локальная теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1 , то вероятность того, что событие произойдет раз в независимых испытаниях при достаточно большом числе , приближенно равна

(3.11)

где , (3.12)

Данная формула (теорема) тем точнее, чем Вычисление по этой формуле дает незначительную погрешность уже при выполнении условия Функция табулирована и обладает следующими свойствами:

1. функция является четной, то есть ;

2. функция монотонно убывающая при положительных значениях причем, при .

3. при

ПРИМЕР 5: В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют автомобили. Какова вероятность того, что из 400 семей у 300 имеются автомобили?

РЕШЕНИЕ: Вероятность того, что в семье имеется автомобиль, равна Так как достаточно велико (условие выполнено), то применим локальную теорему Муавра - Лапласа:

Замечание Значение функции получено из соответствующих статистических таблиц.