Глава 3. Повторение испытаний

3.1. Схема Бернулли

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события .

В схеме Я. Бернулли рассматривается серия, состоящая из независимых испытаний, каждое из которых имеет лишь две исхода: наступление какого-то события (успех) или его не наступление (неудача). Причем вероятность успеха при одном испытании равна – постоянна и не зависит от номера испытания. Следовательно, вероятность неуспеха тоже постоянна.

Сформулируем задачу – вычислить вероятность того, что при испытаниях событие осуществится ровно раз и, следовательно, не осуществится раз (см. рис.):

По теореме умножения вероятностей независимых событий искомая вероятность будет равна:

(3.1)

Однако интересующее нас событие ( успехов при опытах) может произойти не только одним способом. Число возможных вариантов (комбинаций) выборки элементов из вычисляется по формуле (1.5):

Окончательно получим:

(3.2)

Это и есть формула Бернулли (биномиальное распределение). Вспомним формулу бинома Ньютона:

(3.3)

Отсюда, и непосредственно из формулы Бернулли (3.2) следует:

(3.4)

Очевидно этот же результат получится, если учтем, что для получим полную группу событий, вероятность которых равна 1.

ПРИМЕР 1: В семье 10 детей. Считая, что вероятность рождения мальчика равна 0.5, найдем вероятность того, что в семье имеются 0, 1, ..., 10 мальчиков.

РЕШЕНИЕ: Отметим, что всилу предположения и равенства имеют место равенства: Отсюда получим:

В многодетной семье с десятью детьми мальчиков и девочек будет поровну с вероятностью ~ 0.25. Вероятность того, что в семье будут дети одного пола (мальчики или девочки) – чуть меньше одной пятисотой.

Введем следующее обозначение, пусть означает вероятность того, что в испытаниях схемы Бернулли успех наступит не менее чем раз, и не более чем раз . Так как события, соответствующие различному числу успехов попарно несовместны, то имеет место формула:

(3.5)

Вероятность того, что в результате испытаний, успех наступит хотя бы один раз, вычисляется по формуле:

(3.6)

Типичный график биномиального распределения приведен на рис.3.1 для

Сформулируем задачу: необходимо найти наивероятнейшее число успехов, то есть такое , вероятность которого максимальна.

Запишем условия максимума вероятности:

Запишем неравенства и в явном виде:

;

;

Рис. 3.1. График вероятностей биномиального распределения (p=0.5; n=20)

Учитывая оба неравенства, окончательно получим:

. (3.7)

В испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха наиболее вероятным числом успехов является

• единственное число если число не целое;

• два числа и , если число целое;

При достаточно большом числе испытаний из выражения (3.7) получим – (статистическое определение вероятности).

При больших значениях наиболее вероятная относительная частота успеха совпадает (равна) вероятности успеха при одном испытании.

ПРИМЕР 2: Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превышает установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

РЕШЕНИЕ: Вероятность нормального расхода . Вероятность перерасхода . Искомая вероятность по формуле Бернулли: