Тема 5. Середні величини та загальні принципи їх застосування.

З даної теми планується лекція і практичне заняття. Самостійна розрахункова робота виконується вдома за загальними завданнями. Контроль знань з теми проводиться шляхом написання поточної аудиторної контрольної роботи.

Питання для розгляду на практичному занятті:

1.Середня арифметична та методика її розрахунку.

2.Середня гармонічна та методика її розрахунку.

3. Правила вибору формули середньої. Написання логічних формул для осереднюваної величини.

Література: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 11.

Термінологічний словник

Середня відбиває типовий рівень показника, що притаманний кожній одиниці досліджуваної сукупності і одним значенням характеризує узагальнений кількісний розмір варіюючої ознаки. Математично - середнє є центром розподілу.

Методичні рекомендації до розв’язання типової задачі з теми

Студенту слід засвоїти види степеневих середніх і прийоми їх обчислення за незгрупованими (прості середні) і за згрупованими (зважені середні) даними.

Середня арифметична і середня гармонічна є взаємооберненими. Їх формула у загальному вигляді:

Загальна середня =

Формули для розрахунку зведені у таблицю:

Види середніх	Формули середніх
	Проста, обчислюється за незгрупованими даними	зважена, обчислюється за згрупованими даними
Арифметична
Гармонічна

Позначення: - загальна середня; - індивідуальні значення варіюючої ознаки, із яких шукають просту середню; - групові середні значення варіюючої ознаки, із яких шукають зважену середню; n – число одиниць сукупності; - частота або частка в ряді розподілу, яка показує скільки разів зустрічається у ряді розподілу кожне значення групової середньої величини; M_i – обсяговий, результативний показник, який показує суму індивідуальних значень варіюючої ознаки, що потрапили до кожної групи.

Справедливий взаємозв’язок: ; ; .

Якщо середнє значення ознаки знаходять за згрупованими даними, то варіантами виступають або відомі групові середні ( ):

,

або умовно знайдені середні кожного інтервалу:

= (x_{початк.} + х_кінцев )/2

- це показник обсягу ознаки на одну одиницю сукупності в групі. Якщо відоме число таких одиниць, то завжди можна знайти обсяг явища по групі (суму індивідуальних значень варіантів, що потрапили до групи):

Сума обсягів явища по групах дає суму обсягу явища по усій сукупності (чисельник загальної середньої), а .

Якщо ж відомі дані про групові обсяги явища по кожній групі і групові середні, але невідоме число одиниць сукупності по групах, то його знаходять діленням групового обсягу явища на відповідну групову середню:

Правила вибору формули середньої для розрахунку середньої зваженої (арифметичної чи гармонічної):

1. Будується вихідне співвідношення середньої, тобто записується словами формула для розрахунку величини, із значень якої треба знайти загальне середнє значення, наприклад, треба знайти середню чисельність працівників на одну бригаду ( ):

=

2. Якщо відомі дані про показник, що стоїть у знаменнику вихідного співвідношення середньої, то розрахунок середньої проводять за формулою арифметичної зваженої.

3. Якщо відомі дані про показник, що стоїть у чисельнику вихідного співвідношення середньої, то її розраховують за формулою гармонічної зваженої.

4. Вагами при розрахунку середньої може виступати тільки чисельник, або знаменник вихідного співвідношення середньої, на сторонній показник зважувати не можна.

5. Середня знайдена вірно, якщо результат розрахунків і в чисельнику і в знаменнику має економічний зміст і відповідає вихідному співвідношенню.

Приклад Відомі наступні дані про виробництво фірмою однорідних товарів двох видів за звітний місяць:

Назва товару	Фірма №1		Фірма №2
	Ціна за од., грн.	Кількість вироблених товарів, од.	Ціна за од., грн.	Вироблено на суму, грн.
А	0,40	300	0,50	125
Б	1,20	450	1,50	630

Знайдіть середню ціну за одиницю товару двох видів разом:

а) по фірмі №1

б) по фірмі №2

Розв’язання

1. Побудуємо вихідне співвідношення середньої (це ціна, значить треба записати формулу для розрахунку ціни)

ціна =

2. Середня ціна у фірмі №1 розраховується за арифметичною зваженою, так як роль вагів виконує показник, що стоїть у знаменнику вихідного співвідношення:

середня ціна = 0,88 грн. за од.

Середня ціна у фірмі №2 розраховується за гармонічною зваженою, так як роль вагів виконує показник, що стоїть у чисельнику вихідного співвідношення:

Середня ціна 1,13 грн. за од.