Тема 5. Условные вероятности. Понятия независимости случайных событий. Теоремы умножения и сложения вероятностей.

Литература: [1,с.54-62], [2, с.37-53], [3,c.30-32], [4,c.35-44], [5, c.132-162], [6, с.26-39], [7,с.42-50], [8, с.42-49], [9,с.29-42], [10,с.34-41].

Данные занятия предназначено для овладения методами вычисления условной вероятности, изучения свойств независимых событий, изучения основных формул для вычисления вероятностей объединений и пересечений событий из алгебры событий , связанных с некоторым случайным экспериментом Е, для которого построено основное вероятностное пространство .

В ряде случаев необходимо находить вероятности событий при дополнительном условии, что произошло некоторое событие В, имеющее положительную вероятность. Такие вероятности называются условными и определяются по формуле: В теории вероятностей, однако, чаще применяется не эта формула, а другая , которая позволяет вычислить вероятности пересечений событий через условные вероятности. Эта формула называется теоремой умножения вероятностей случайных событий. Формула допускает обобщение на случай n событий , связанных с одним и тем же случайным экспериментом Е и принадлежащих одной и той же алгебре событий :

где . Следует заметить, что условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности.

Для вычисления вероятности объединения двух событий может оказаться полезной формула: . Она называется теоремой сложения вероятностей. Теорема сложения вероятностей обобщается на случай n событий из одной и той же алгебры событий. В частности для трех событий она имеет вид:

.При изучении понятия независимости случайных событий следует обратить внимание на различие понятий попарной независимости и независимости событий в совокупности.

Определение: События А и В называются независимыми, если

Следует заметить, что для независимых событий и условная вероятность одного из них, при условии, что другое имело место, совпадает с безусловной вероятностью, т.е. ,

Определение: События независимы в совокупности, если для любых k из них выполняется соотношение:

Если это соотношение выполняется лишь при k=2 , то события называются попарно независимыми. Попарной независимости n событий (n>2) недостаточно для независимости этих событий в совокупности. Это показывает, например, задача Берштейна [3 , c. 37].

Не следует путать понятия независимости и несовместности событий. Напомним, что события А и В из одной и той же алгебры событий несовместны, если они не могут наступать одновременно, т.е. Можно доказать, что несовместные события ненулевых вероятностей всегда зависимы.

Примеры решения задач

Задача 1. Из урны, содержащей 3 белых и 7 красных шаров, наудачу последовательно и без возвращения извлекаются 2 шара. Рассматриваются события: A={первый шар белый}; B={второй шар белый}; C={по крайней мере один из вынутых шаров белый}. Вычислить вероятности Являются ли независимыми события А и В, А и С, В и С. Являются ли независимыми в совокупности события А, В и С?

Решение: Для вычисления искомых условных вероятностей воспользуемся формулой Занумеруем белые шары числами 1,2,3, а черные – числами 4,5,…,10. Согласно описанию эксперимента имеем следующую схему: выбор наудачу, без возвращения пары чисел из множества {1,2,…,10} с упорядочиванием. Поэтому множество элементарных исходов можно записать в виде: Отсюда следует, что для всех События А и формально можно записать так: :

Событию соответствует множество Далее получаем:

Для вычисления вероятности события заметим, что поэтому . Отсюда

Проверяем независимость событий и : т.е. события и не являются независимыми. Далее проверяем независимость событий и : т.к. Следовательно, события и тоже зависимы. Наконец,

поэтому и события и зависимы.

Так как события и не являются попарно независимыми, то они тем более не являются независимыми в совокупности.

Задача 2. События независимы в совокупности и Найти вероятности событий:

A ={не произойдет ни одного из событий }; B = ={произойдет хотя бы одно из событий }; C= ={произойдет одно и только одно из событий }.

Решение: Если не произойдут события , это значит, что будут иметь место противоположные им события Следовательно, Воспользовавшись тем, что при независимости событий , события так же будут независимыми, получаем: По определению операции объединения событий, событие В может быть представлено в виде: Для независимых событий легко вычисляется вероятность пересечения этих событий, поэтому здесь целесообразно воспользоваться законом де Моргана. В результате будем иметь:

=

Событие С может наступить одним из n возможных способов, при которых наступает лишь одно фиксированное событие ( ), а все другие не наступают. Обозначим через соответствующие события, т.е. . Событие С можно представить в виде объединения n попарно несовместных событий , и по теореме сложения для несовместных событий получаем: