III. Определенный интеграл

Определение и вычисление определенного интеграла

Рассмотрим функцию f(x), определенную на промежутке [a, b]. Разобьем промежуток на п произвольных частей точками

и обозначим

На каждом промежутке возьмем произвольную точку x_i и вычислим в ней значение функции f(x). Выражение называется интегральной суммой функции f(x). Если при ∆→0 существует и конечен предел , не зависящий ни от способа разбиения промежутка [а, b] точками , ни от выбора точек , то этот предел называют определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a, b], a саму функцию - интегрируемой на [a, b].

Обозначают

Из приведенного определения естественно следует геометрический смысл определенного интеграла: если f(x) > 0, то равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми x = a, x = b.

Порядок выполнения работы

Задание 1. Вычислить значение интеграла от линейной функции, определить площадь соответствующей фигуры.

f(x) :=2х + 1 а := 1 b := 5

Указание. Для того чтобы вычислить определенный интеграл, щелкните в панели по кнопке и введите с клавиатуры в помеченных позициях пределы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования;

выделите выражение, щелкните по кнопке в панели , а затем по рабочему документу вне выделяющей рамки. Вычисленное значение интеграла будет отображено в рабочем документе справа от стрелки. Постройте график функции.

Геометрическая фигура, ограниченная графиком функции, осью абсцисс и прямыми x = а, x = b, трапеция. Вычислите площадь трапеции и сравните со значением интеграла.

Задание 2. Для заданной функции исследуйте поведение интегральных сумм на заданном отрезке интегрирования, разбивая отрезок интегрирования на равные части. Вычислите определенный интеграл и сравните его значение со значениями пределов интегральных сумм.

Разбейте отрезок [a, b] на N равных частей и определите три интегральные суммы как функции N, различающиеся способом выбора точки на отрезке : SI(N) для , Sr(N) для и Sm(N) для .

Чтобы определить соответствующую интегральную сумму, введите с клавиатуры ее имя и знак присваивания; щелкните по кнопке в панели и введите в помеченных позициях индекс суммирования, его начальное и конечное значения и выражение для вычисления слагаемого. Чтобы найти предел интегральной суммы при , щелкните по кнопке в панели , введите в помеченных позициях N, бесконечность и имя соответствующей интегральной суммы, выделите выражение предела, щелкните по кнопке в панели и по рабочему документу вне выделяющей рамки. Сравните значения полученных пределов между собой и со значением интеграла. В приведенном фрагменте построены два графика интегральных сумм. На левом графике изображена зависимость интегральных сумм от N. На графике видно, что при любом значении N интегральная сумма Sm(N) равна значению интеграла, а интегральные суммы SI(N) и Sr(N) стремятся к нему с ростом N, монотонно возрастая и убывая соответственно. На правом графике изображена зависимость значений интегральных сумм от длины отрезка разбиения .