Лабораторная работа 5

Дифференцирование и интегрирование

I. Производная и ее вычисление

Пусть функция f(x) определена на промежутке (а, b), точка x₀  произвольная точка из области определения функции¹. Обозначим  через ∆ f(x₀ ) = f(x₀  + ∆x)- f(x₀ ) приращение функции в точке x₀  , вызванное приращением ∆x независимой переменной х. Производной функции f(x) в точке x = x₀ , при x₀  (a,b), называется предел отношения  приращения функции  ∆f(x₀ ) к приращению ∆x при стремлении ∆x к нулю, т.е.

.

Здесь f (x₀ )   производная функции в точке  x₀  (a, b). 

Порядок выполнения работы

1). Найдите по определению производную функции

f(x)= .

Вычислите значение производной в точке x = 0. Поскольку f(0) = 0, то приращение функции ∆f(x) в точке х = 0 равно ∆f(0) = f(0 + ∆x) - f(0) = f(∆x) - f(0) = f(∆x).

Указание:

1. Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.

2. Определите функцию.

3. Определите приращение функции в указанной точке.

4.Вычислите предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащего необходимые вычисления, приведен ниже.

Значение функции при x, отличном от нуля

Производная функции f(x) в точке х=0 существует и равна 4.

     f (x)=4

2) Вычислите производную аналитически.

Рис. 1.  Символьное дифференцирование

Указание. Символ приращения ∆ выберите в панели греческого алфавита. Предел вычисляется средствами символьной математики пакета. Для того чтобы вычислить производную с использованием меню символьных операций, введите выражение дифференцируемой функции, выделите переменную х и щелкните по строке Differentiate в строке Variable меню Symbolics (рис. 1.). Можно поступить по-другому. Щелкнув по кнопке , разверните панель инструментов Calculus, щелкните в ней по кнопке дифференцирования , введите имя функции и переменной в помеченных позициях, выделите выражение и нажмите на клавиатуре комбинацию клавиш <Shift>+<F9> (рис.2.).

Рис. 2. Дифференцирование с использованием панели  Calculus

II. Неопределенный интеграл. Интегрирование заменой переменной

Рассмотрим функцию f(x), определенную на промежутке² (а, b). Дифференцируемая на промежутке (а, b) функция F (x), производная которой в каждой точке (а, b) равна f(x), называется первообразной функции f(x), если:

F '(x) = f(x).

Поскольку (F (x) + С)' = F '(x) = f(x) для любой постоянной С, то можно говорить о семействе первообразных множестве функций вида  F (x) + C которое называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается символом :

где  - знак интеграла; f(x)dx подынтегральное выражение;

 f(x) подынтегральная функция; х переменная интегрирования; F(x) + С значение неопределенного интеграла, т.е. семейство первообразных функции f{x):

Порядок выполнения работы

1). Вычислите неопределенный интеграл и проверьте правильность вычислений; постройте графики семейств первообразных.

Указание:

1. Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.

2. Определите подынтегральную функцию как функцию переменной х.

3. Найдите первообразную, используя символьную математику пакета.

4. Определите первообразную как функцию переменной.

5. Найдите производную первообразной, используя символьную математику пакета.

6. Упростите производную от первообразной, сравните результат с подынтегральной функцией.

7. Постройте на одном графике изображения нескольких первообразных.

 Указание. Для того, чтобы вычислить неопределенный интеграл, щелкните по кнопке  в панели , введите с клавиатуры в помеченных позициях подынтегральную функцию и переменную интегрирования, выделите все выражение рамкой, затем щелкните по кнопке  в панели  . Первообразная, в которой по умолчанию значение произвольной константы равно нулю, будет отображена справа от стрелки. Скопируйте вычисленное выражение и присвойте его функции переменной х (в приведенном фрагменте - это F(x)). Для того чтобы проверить первообразную, вычислите ее производную. Для этого скопируйте в буфер обмена³ выражение первообразной, щелкните по кнопке дифференцирования , вставьте из буфера обмена⁴  выражение первообразной. Введите с клавиатуры переменную дифференцирования и дальше действуйте так же, как при символьном вычислении первообразной.

Построить графики семейства первообразных можно, щелкнув по кнопке  в панели . Далее следует ввести в помеченной позиции возле оси ординат, разделяя запятой, выражения для первообразных с различными значениями константы (в приведенном фрагменте это F(x) (5, 10, 15) и щелкнуть по рабочему документу вне поля графиков.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad

Если j(t) непрерывно дифференцируемая функция, то, полагая x=j(t), получим формулу интегрирования заменой переменной:

.

2) Вычислите неопределенный интеграл    заменой переменных .

Указание.

1. Для того чтобы выполнить в неопределенном интеграле замену переменной х новой переменной , введите в рабочий документ  и разрешите его относительно переменной х (выделите х, щелкните по строке Solve в пункте Variable меню Symbolics), затем продифференцируйте полученное выражение по t (т.е найдем dx).

2. Скопируйте в рабочий документ подынтегральную функцию переменной х, скопируйте в буфер обмена выражение для х и выполните замену (выделите х, щелкните по строке Substitute в пункте Variable меню Symbolics).

 3. Вычислите неопределенный интеграл по t, действуя как описано выше.

 4. Выполните обратную подстановку (замените переменную t ее выражением через х).

5. Упростите выражение (разложите на множители), используя меню символьных операций Symbolics, пункт Factor.

6. Проведите проверку полученных результатов. Продифференцируйте полученное выражение по x и упростите.