Робота 4. Дослідження динамічних властивостей ланок методом частотних характеристик

4.1. Мета роботи

За допомогою системи автоматичного моделювання та параметричної оптимізації СИАМ дослідити частотні характеристики пропорційної, інтегруючої, диференціюючої, аперіодичної та коливної ланок і на основі логарифмічних частотних характеристик навчитися визначати параметри ланок.

4.2. Теоретичні відомості

Динамічні властивості елементів і систем автоматичного регулювання можуть бути встановлені на основі частотних характеристик. Перевага частотного методу аналізу динамічних властивостей ланок (систем) автоматичного регулювання полягає, зокрема, в тому, що частотні характеристики динамічних ланок можуть бути отримані як аналітичним, так і експериментальним шляхом.

Частотні характеристики описують передаточні властивості елементів і систем у режимі усталених коливань, викликаних вхідним гармонічним сигналом.

Нехай на вхід лінійної ланки подано гармонічну дію з частотою , амплітудою та з початковою фазою, рівною нулю:

. /4.1/

Враховуючи, що синусоїдному коливанню відповідає обертання радіус-вектора проти годинникової стрілки з кутовою швидкістю , символічне зображення вхідного сигналу можна записати як

. /4.2/

Нагадаємо, що вираз

/4.3/

називають комплексною амплітудою вхідного сигналу.

Після закінчення перехідного процесу вихідна величина лінійної динамічної ланки буде змінюватися за гармонічним законом з тією ж частотою, що і вхідна величина, але з іншими амплітудою і початковою фазою:

. /4.4/

Якщо змінювати частоту вхідного сигналу без зміни амплітуди і фази, то амплітуда вихідного сигналу і його фаза будуть змінюватися, тобто стануть функціями частоти. За таких умов символічне зображення вихідного сигналу матиме вигляд

. /4.5/

Схематично процеси на виході структурної ланки при гармонічній вхідній дії показано на рис.4.1.

Рис.4.1. Реакція лінійної ланки на гармонічний вхідний сигнал.

Відношення символічного зображення гармонічного вихідного сигналу до символічного зображення гармонічного вхідного сигналу називають комплексним коефіцієнтом передачі, або амплітудно-фазовою частотною характеристикою динамічної ланки

. /4.6/

Після підстановки /4.2/ і /4.5/ в /4.6/ одержимо

. /4.7/

Залежність

, /4.8/

називають амплітудною частотною характеристикою динамічної ланки. Вона показує, як ланка або система передає сигнали різної частоти.

Фазова частотна характеристика показує, як відбувається зміщення (відставання або випередження) вихідного сигналу за фазою, яке створює ланка при зміні частоти вхідного сигналу, по відношенню до фази вхідного сигналу .

Оскільки - комплексна функція частоти, її можна записати також і у алгебраїчній формі, виділивши дійсну і уявну частини

, /4.9/

де , - відповідно дійсна і уявна частотні характеристики.

Для визначення типу динамічних ланок і їх параметрів найчастіше використовують логарифмічні частотні характеристики. Вони поділяються на логарифмічні амплітудно-частотні характеристики та логарифмічні фазочастотні характеристики . Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика визначається рівністю

. /4.10/

При побудові логарифмічних частотних характеристик величина , що має розмірність децибели, відкладається по вісі ординат у лінійному масштабі. По вісі абсцис відкладається кутова частота в логарифмічному масштабі або її десятковий логарифм. Інтервал частот, який відповідає зміні частоти у десять разів, називають декадою. Для логарифмічної фазочастотної характеристики змінють масштаб по вісі частот на логарифмічний, а масштаб по вісі ординат залишають незмінним. Графіки характеристик і будують одна під одною або в одній системі координат і в зарубіжній літературі називають діаграмами Боде.

Перевагами логарифмічних частотних характеристик є зручніший масштаб при великих діапазонах зміни частоти та можливість заміни операції перемноження амплітудно-частотних характеристик їх додаванням при послідовному з'єднанні ланок.

Логарифмічні частотні характеристики легко апроксимуються відрізками прямих ліній. Асимптотичною логарифмічною амплітудно-частотною характеристикою називають відрізки асимптот - прямих, до яких наближається характеристика .

Існує спосіб графічного представлення амплітудно-фазової характеристики ланки у вигляді годографа. Годографом амплітудно-фазової частотної характеристики називають криву, яку описує кінець радіус-вектора при зміні частоти від 0 до . Побудову годографа можна вести як у полярних координатах за значеннями і , так і у декартових - за значеннями і . Біля кожної побудованої точки годографа проставляють значення кутової частоти в , а в полі рисунка записують вирази, за якими здійснюються розрахунки.

Аналітичні вирази для частотних характеристик можна отримати із передаточної функції ланки (системи). Якщо в передаточній функції ланки здійснити підстановку , то отримується вираз для амплітудно-фазової частотної характеристики системи , який легко привести до показникової чи алгебраїчної форми. Зв’язки між виразами для частотних характеристик можна записати у вигляді

2. ;

;

2. ; /4.11/

3. .

У випадку довільного вхідного сигналу амплітудно-фазова частотна характеристика встановлює зв’язок між зображеннями Фур’є вхідного і вихідного сигналів

. /4.12/

За особливостями частотних характеристик ланки поділяють на мінімально-фазові і немінімально-фазові. До мінімально фазових належать ланки, які мають нулі і полюси передаточної функції, розміщені в лівій півплощині комплексної площини коренів. Такі ланки вносять мінімально можливий зсув фаз порівняно з іншими ланками, які мають такі ж амплітудно-частотні характеристики. Особливість мінімально фазових ланок полягає в тому, що їх динамічні властивості можуть бути встановлені на основі амплітудно-частотних характеристик, так як фазочастотні характеристики в такому разі не несуть додаткової інформації.