2.2. Общие вопросы изучения нумерации

Нумерация - это совокупность правил для получения чисел, их чтения и записи, а также их свойств.

Учитель начальных классов учит детей на уроках математики как получать, читать, записывать числа и выясняет с детьми свойства чисел.

Различают нумерацию устную и письменную. К устной нумерации относят совокупность правил, позволяющих с помощью немногих слов составлять названия любых чисел. Письменная нумерация – это совокупность правил, позволяющих с помощью немногих знаков обозначать (на письме) любые числа.

Нумерация изучается по концентрам: «Десяток», «Сотня», «Тысяча» и «Многозначные числа». В каждом новом концентре (за исключением первого) изучаются новые случаи вычисления, основанные на знании чисел ( в методике их называют нумерационными случаями). Например, 20+5 – это нумерационный случай. Нумерационными являются и случаи 25 - 5, 25 - 20, 5 + 20, так как для их вычисления нужно знать только десятичный состав числа. 320 + 5, 5 + 320, 325 - 5, 325 - 320, 300 + 25, 25 + 300, 325 - 25, 325 - 300 – тоже нумерационные случаи. Вычислительные случаи типа 23 + 5. и 20 + 50 не являются нумерационными, так как в первом случае, кроме десятичного состава числа, следует еще знать прием замены числа 23 суммой чисел 20 и 3, а во втором – надо знать таблицу сложения однозначных чисел.

Язык для записи чисел, их чтения и действий над ними называют системой счисления. Различают позиционные и непозиционные системы счисления. Система счисления является позиционной, если число определяется по месту цифры в записи этого числа. Если цифра в числе одна, то мы не говорим о ее месте. Место цифр мы считаем не слева, а справа. Например, цифра 3 в числе 375 записана на третьем месте (мы не уточняем, что – справа).

2.3. Особенности изучения нумерации в начальной школе по концентрам

Изучение нумерации чисел в курсе математики начальных классов строится по концентрам: «Десяток», «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа». Сотня разбивается на два подконцентра: от 11 до 20 и от 21 до 100. Область чисел расширяется постепенно. Если мы работаем в концентре «1000», то работа с числами ведется не от 100 до 1000, а от 1 до 1000. Материал усваивается на уровне понимания, определений не дается. При изучении числовая последовательность должна опережать числовую область чисел, что полезно для развития школьников, а также формирования представления бесконечности натурального ряда.

В каждом концентре есть свое, особенное. Например, если дети изучили первый концентр, то при изучении второго десятка они изучают новые названия чисел, а затем, при переходе к сотне – снова новые названия.

В каждом концентре отрабатываются одни и те же вопросы, за исключением особенностей каждого концентра. Например, поместное значение цифр отрабатывается в каждом концентре, кроме концентра «Десяток». В каждом концентре отрабатываются: основное свойство натурального ряда (каждое следующее число получается путем прибавления единицы), принципы получения чисел, названия чисел, их чтение и запись, последовательность в натуральном ряду, свойства натурального ряда чисел. Поэтому при переходе к каждому новому концентру необходимо осуществлять перенос знаний на новую область чисел. Например: «Если к числу 15 прибавить 1, то получим следующее число». Это позволяет неоднократно возвращаться к основным вопросам темы, совершенствуя тем самым знания и умения учащихся.

Преемственность между концентрами увеличивает долю самостоятельности учащихся при изучении нумерации чисел в каждом новом концентре.

В основе чтения и записи чисел лежит усвоение таких понятий, как «число», «цифра», «разряд», «класс».

В основе формирования понятия числа в школе лежит счет предметов. Счет служит для определения количества. Число выступает как результат счета, т.е. число, названное последним при счете, характеризует количество предметов данной совокупности (количественное число). В основе операции счета лежит установление взаимно однозначного соответствия между предметами данной совокупности и словами-числительными, которые называются в определенном порядке. В связи с этим каждое число, названное при счете, характеризует не только количество предметов данной совокупности, но и порядок их при счете (порядковое число). Поэтому число, как общая характеристика класса эквивалентных множеств, осознается ребенком в процессе установления взаимно однозначного соответствия между элементами различных множеств. Ответы на вопросы: «Больше?», «Меньше?», «Столько же?» — могут быть получены с помощью счета и при помощи установления взаимно однозначного соответствия между предметами.

Центральным вопросом темы «Нумерация» является усвоение принципа образования чисел в натуральном ряду, суть которого разъясняется учащимся на наглядном материале в тесной взаимосвязи с операцией счета.

Понятие цифры, как знака для записи чисел, вводится в концентре «Десяток» и используется для записи чисел в последующих концентрах. Дети путают понятия «цифра» и «число», «разряд» и «класс». Заметим, что у них нет путаницы между содержанием терминов «буква» и «слово». Можно провести такую ассоциацию. Буква – это знак для написания слов, она как цифра для написания чисел. Слово, как число, состоят из знаков.

Формирование понятия числа предусматривает отработку понятия системы счисления. В базовой программе обучения это десятичная система. Для того, чтобы показать школьникам десятичный принцип счисления, учитель должен указать на существование других систем счисления, так как сопоставление облегчает выделение закономерностей. Поэтому римская нумерация вводится не столько с целью практического пользования, сколько для того, чтобы подчеркнуть позиционный принцип позиционной системы.

Понятие «разряд» разъясняется детям в концентре «Сотня» и используется в последующих концентрах. При изучении нумерации многозначных чисел учащиеся знакомятся с понятием «класс».

Понятия числа, разряда, класса формируются в процессе действий с различными множествами предметов. В качестве наглядных пособий для изучения устной нумерации применяются счетные палочки, модели геометрических фигур, счеты, таблицы, а для изучения письменной нумерации – абак, классные счеты, нумерационные таблицы.

Число тесно связано с измерением величин. В каждом новом концентре изучаются новые единиц длины, массы и др., что помогает усвоению нумерации.

В каждом новом концентре, за исключением первого, изучаются новые случаи вычисления, основанные на знании чисел (это нумерационные случаи).

По окончании начальной школы ученик должен знать: название чисел, их запись, чтение, порядок следования в натуральном ряду, а так же отношения чисел в натуральном ряду «следовать за …», «предшествовать», «находиться между», особенности позиционной системы счисления, свойства натурального ряда (каждое следующее число получается из предыдущего путем прибавления по единице, но можно сказать и наоборот), сравнение чисел, применение чисел в разных ситуациях. У детей должны быть сформированы навыки чтения и записи чисел,