Теорема 13. Сума скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Доведення. Нехай x_n, y_n — нескінченно малі послідовності. Доведемо, що їх сума z_n = x_n + y_n є нескінченно мала послідовність. Візьмемо довільне  > 0. Оскільки , знайдеться число N, таке що при виконуватиметься нерівність . Аналогічно, знайдеться число N₂, таке що при виконуватиметься . Візьмемо число . При справджуються обидві нерівності , . Тому

,

тобто

.

Це означає, що . 

З ауваження. Сума нескінченно великого числа нескінченно малих послідовностей може і не бути нескінченно малою.

П ослідовність — нескінченно мала, але нескінченна сума цих послідовностей не є нескінченно малою.

Теорема 14. Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену є нескінченно мала послідовність.

Доведення. Нехай послідовність х_n — нескінченно мала, а послідовність у_n — обмежена, тобто при всіх n виконується нерівність . Візьмемо довільне . Тоді знайдеться номер N, такий що при всіх виконується нерівність

.

Далі маємо:

;

.

Це означає, що . 

П ослідовність — нескінченно мала, а послідовність — обмежена, тому послідовність є нескінченно малою.

Теорема 15. Якщо х_n — нескінченно велика послідовність, то — нескінченно мала послідовність.

Доведення. Візьмемо довільне . Тоді знайдеться число N таке, що при виконується нерівність . Оцінимо величину у_n:

.

Отже, , що означає

.

Теорема 16. Якщо х_n — нескінченно мала послідовність і , то послідовність є нескінченно великою.

Доведення аналогічне попередньому.

, оскільки .

З ауваження. Нескінченно велику (малу) послідовність називають також нескінченно великою (малою) величиною.

4.1.13. Теореми про границі

Теорема 17. Для того щоб послідовність х_n мала границю а, необхідно і достатньо, щоб х_n = а + у_n, де у_n — нескінченно мала послідовність.

Доведення. Необхідність. Нехай . Візьмемо довільне число . Завжди знайдеться число N таке, що при виконується нерівність . Позначимо . Для послідовності у_n виконується нерівність . Це означає, що .

Достатність. Нехай у_n — нескінченно мала послідовність. Візьмемо довільне число . Для нього знайдеться число N, таке що при виконується нерівність . Звідси випливає . Це й означає, що .

Теорема 18. Якщо послідовності x_n і y_n збігаються, а також

;

,

то послідовності x_n + y_n, x_ny_n, const x_n, також збігаються і виконуються наведені далі рівності.

1. —

границя суми послідовностей дорівнює сумі їх границь, якщо вони існують.

2. —

границя добутку послідовностей дорівнює добутку їх границь, якщо вони існують.

3. —

сталий множник можна винести за знак границі.

4. .

Границя відношення двох послідовностей дорівнює відношенню границь послідовностей, якщо вони існують і .

Доведення. 1. Якщо і , то за теоремою 17

,

де — нескінченно малі величини. Додаючи почленно дві останні рівності, маємо:

.

Сума двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала. Отже, підкреслений вираз є нескінченно малою величиною, а це означає, що

.

2. Розглянемо добуток

.

Маємо:

— добуток обмеженої величини на нескінченно малу — є величина нескінченно мала. — добуток двох нескінченно малих величин є нескінченно мала величина.

Тоді з теореми 17 випливає, що

.

3. Наслідок із 2, якщо y_n = const.

4. Покладемо для визначеності b > 0. Розглянемо дріб

.

Починаючи з деякого номера N, виконується нерівність . У цьому разі

.

Отже, величина — обмежена. Тоді як добуток обмеженої величини на нескінченно малу є нескінченно малою величиною.

Отже, з теорем 14 і 17 маємо:



З найти

.

4.1.14. Границя відношення двох многочленів

Правило:

1. .

2. .

4.1.15. Добування квадратного кореня

Розглянемо послідовність

, . (1)

Припустимо, що , . Переходячи до границі рекурентних відношень, дістаємо:

або

.

Доведемо, що

Нехай . Перетворимо вираз

.

З умови випливає нерівність . Тому

. (2)

Маємо нерівність

.

Після перетворень дістаємо: або .

Послідовність (1) монотонно спадає та обмежена знизу, тому існує . Із оцінки маємо нерівність , із якої випливає, що Отже, , де .

О бчислити .

• Запишемо послідовність (1)

Дістанемо відповідь з точністю до 5-го знака:

.

4.2. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ

4.2.1. Поняття границі функції

Означення. Нехай х₀(а, b) і функція у = f(x) визначена на інтервалі (а, b) за винятком, можливо, точки х₀. Якщо для будь-якої збіжної послідовності х_n ( , ) існує , то говорять, що функція має границю А при .

Позначення:

Інше означення границі функції дав Коші:

Означення. (Коші)

Границею функції при х, що прямує до а, називається число А, якщо для будь-якого існує число , таке що для всіх х, які задовольняють нерівність випливає

Позначення:

Графічна ілюстрація:

Рис. 4.4

Пояснення. Для всіх х, що містяться поруч із точкою х = а, значення функції f(х) лежать біля А.

Д овести за означенням границі функції, що

.

• Застосовуємо означення границі, коли f(x) = 5x – 3, a = 1, A = 2.

Згідно з означенням потрібно показати, що для будь-якого  > 0 існує  > 0, таке що для всіх х

.

Маємо:

Отже, можна взяти (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Для функції нерівність виконується, як тільки . 