Активные фильтры нижних частот
При выборе схемы фильтра выделяют три основных критерия, которые связаны с определенными требованиями к АЧХ и ФЧХ.
Схему фильтра можно построить так, чтобы она обеспечивала максимально плоскую АЧХ в полосе пропускания.
Можно поставить задачу увеличения крутизны перехода от полосы пропускания к полосе задерживания, допуская при этом некоторую (контролируемую) неравномерность АЧХ в полосе пропускания.
Можно потребовать от фильтра способности пропускать негармонические сигналы со спектром, лежащим в полосе пропускания, но без искажений формы таких сигналов.
Каждый из сформулированных критериев реализуется в схемах, известных как фильтры Баттерворта, Чебышева и Бесселя.
Фильтры Баттерворта
По определению, это фильтры, АЧХ которых описывается формулой
(6)
(n – порядок фильтра,
– частота среза). Фильтры Баттерворта
обладают максимально плоскими АЧХ в
полосе пропускания. Действительно,
слагаемые в знаменателе, с меньшими чем
2n степенями
,
оказались бы при
больше, чем слагаемое
,
и это привело бы к более быстрому спаду
АЧХ. Как следует из формулы (6), на частоте
среза мощность сигнала, проходящего
через фильтр, уменьшается в два раза.
При разработке схемы фильтра необходимо из формулы (6) получить передаточную функцию в виде выражения (5). Именно выражение (5) дает исходные данные (значения коэффициентов ), по которым рассчитываются элементы схемы. Покажем на примере фильтра второго порядка, как можно связать между собой формулы (6) и (5).
Передаточная функция фильтра второго порядка имеет вид
.
Отсюда с помощью подстановки
получим
,
.
Сравнив последнюю формулу с (6) при
,
напишем уравнения для нахождения
коэффициентов a, b
,
.
Положительные значения коэффициентов
будут:
,
,
а передаточная функция фильтра имеет
вид
.
Для фильтра Баттерворта любого порядка значения коэффициентов в множителях выражения (5) можно рассчитать по компактным формулам. В дальнейшем изложении эти формулы не будут использоваться, поэтому приведем лишь ссылку – [1].
Фильтры Чебышева
По определению, это фильтры с АЧХ вида
,
,
(7)
где
для нечетных n и
для четных n. Кроме
того,
– постоянное число, называемое
коэффициентом неравномерности АЧХ в
полосе пропускания;
– многочлен Чебышева n-го
порядка.
Многочлены Чебышева задаются с помощью рекуррентной формулы
,
,
.
(8)
Например,
,
,
,
.
В интервале
функция
колеблется между значениями 0 и 1, а при
монотонно возрастает. Асимптотически
при
:
.
Типичный график многочлена Чебышева
(точнее квадрата многочлена, входящего
в формулу (7)) представлен на рис. 3.
Рис. 3. Графики многочлена Чебышева, возведенного в квадрат (сплошная кривая), и многочлена с максимально плоской зависимостью на интервале (-1; 1) (точечная кривая). Расчет выполнен для n = 5.
Из свойств многочлена Чебышева и
определения (7) следует, что в интервале
модуль коэффициента передачи,
,
колеблется между значениями
,
,
(9)
где верхние значения достигаются при
нечетных n, а нижние
– при четных. Количественным показателем
неравномерности АЧХ в полосе пропускания
может служить отношение
.
Из формул (9) следует, что при любом n
будет
.
(10)
Таким образом, неравномерность задается
коэффициентом
.
На рис. 4 приведены типичные графики АЧХ фильтров Чебышева и Баттерворта. При расчете графиков неравномерность фильтров Чебышева принималась равной
(по формуле (10) коэффициент неравномерности
АЧХ будет
).
Рис. 4. АЧХ фильтров Чебышева (сплошные кривые) и Баттерворта (точечные). Числа у кривых обозначают порядок фильтра.
Одно из свойств функций
выражается равенством:
.
Отсюда и из формулы (7) следует, что у
фильтра Чебышева, в отличие от фильтра
Баттерворта, частота
– это граница интервала, на котором АЧХ
последний раз принимает минимальное
значение и за которой идет только спад
АЧХ. Для фильтра Баттерворта частота
определяется из условия уменьшения
в
раз (или ослабления на 3 дБ).
Для фильтра Чебышева передаточная
функция может быть получена из формулы
(7) с помощью замены
и последующего сравнения с общим
выражением (5), возведенным в квадрат.
Приравнивая друг другу коэффициенты в
обоих выражениях при одинаковых степенях
P, можно составить
систему уравнений для нахождения
значений коэффициентов передаточной
функции
.
Именно так были рассчитаны коэффициенты
в нижеприведенной таблице.
Таблица 1. Коэффициенты передаточной функции фильтра Чебышева пятого порядка.
-
Неравномерность АЧХ, дБ
a1
a2
b2
a3
b3
0.1
1.875
1.364
1.579
0.277
0.838
0.2
2.183
1.331
1.793
0.254
0.895
0.3
2.412
1.294
1.926
0.238
0.928
0.4
2.604
1.258
2.022
0.226
0.949
0.5
2.773
1.225
2.097
0.216
0.966
0.6
2.929
1.194
2.159
0.207
0.978
0.7
3.073
1.165
2.210
0.199
0.989
0.8
3.210
1.137
2.255
0.193
0.998
0.9
3.341
1.112
2.293
0.186
1.005
1.0
3.467
1.087
2.328
0.181
1.012
1.1
3.589
1.064
2.359
0.176
1.018
1.2
3.708
1.042
2.386
0.171
1.023
1.3
3.824
1.021
2.418
0.166
1.027
1.4
3.938
1.001
2.435
0.162
1.032
1.5
4.051
0.982
2.456
0.158
1.035
1.6
4.162
0.963
2.476
0.155
1.039
1.7
4.271
0.945
2.494
0.151
1.042
1.8
4.380
0.928
2.511
0.148
1.045
1.9
4.487
0.912
2.527
0.145
1.048
2.0
4.594
0.896
2.541
0.142
1.050
2.2
4.806
0.865
2.568
0.136
1.055
2.4
5.017
0.837
2.592
0.131
1.059
2.6
5.227
0.810
2.613
0.126
1.062
2.8
5.437
0.784
2.633
0.121
1.065
3.0
5.648
0.760
2.650
0.117
1.068
Сравнение АЧХ фильтров Чебышева и Баттерворта
Рассмотрим в качестве примера фильтры
пятого порядка и определим протяженность
частотного интервала, лежащего между
полосой пропускания с неравномерностью
АЧХ не более
и частотой половинного уменьшения
мощности (
).
Для фильтра Чебышева из условия
неравномерности АЧХ в полосе пропускания
в пределах
найдем параметр
:
,
.
Определим частоту половинного спада
мощности (
)
по уравнению, составленному на основе
выражения (7) с
,
.
Подставив значение
и решив уравнение, получим
.
Граничной частотой полосы пропускания
с неравномерностью
для фильтра Чебышева будет частота
среза:
.
Тогда искомый интервал, выраженный в
единицах частоты с половинным спадом
мощности, будет
.
Для фильтра Баттерворта на частоте
среза происходит уменьшение мощности
в два раза. То есть для данного случая
будет:
.
Граничную же частоту полосы пропускания
с неравномерностью АЧХ в
предстоит определить. Воспользовавшись
выражением (6) с
,
составим и решим уравнение
,
.
Отсюда получим
.
Можно, например, рассчитать частотные интервалы, на которых мощность сигнала уменьшается от -3 дБ до -6 дБ (четырехкратное уменьшение мощности). В этом случае получим
,
Из сравнения поученных значений следует, что фильтр Чебышева имеет более крутой спад АЧХ чем фильтр Баттерворта. Однако «платой» за это является большая, чем у фильтров Баттерворта, неравномерность АЧХ на начальном участке полосы пропускания. В любом случае приходится мириться с некоторой неравномерностью характеристики в полосе пропускания. Для фильтра Баттерворта характерно монотонное уменьшение АЧХ при увеличении частоты, а для фильтра Чебышева – пульсации, распределенные по всей полосе пропускания.
Мысль о том, что можно мириться с пульсациями АЧХ ради крутизны переходного участка, доводиться до своего логического завершения в идее фильтра Кауэра. В нем допускаются пульсации АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. При этом по сравнению с фильтром Чебышева увеличивается крутизна переходного участка.
Фильтры Бесселя
Пока что мы рассматривали прохождение через фильтры гармонических сигналов. При этом внимание было сосредоточено на изменении амплитуды сигнала в зависимости от его частоты. Попробуем теперь создать фильтр, который сохраняет форму сигнала со сложным спектром (составляющие которого, однако, лежат в полосе пропускания фильтра). Допустимыми изменениями временной зависимости сигнала будем считать лишь усиление и сдвиг во времени. Очевидно, что пропорции сигнала при этом не изменяются. Таким образом, напряжения на входе и выходе фильтра должны быть связаны соотношением
.
(11)
Найдем частотный коэффициент передачи
такого фильтра,
.
Выразим выходное напряжение через
Фурье-компоненты входного,
,
.
(12)
Если
,
то выражение в правой части (12) совпадет
с правой частью (11). Иными словами, в
полосе пропускания фильтра его АЧХ и
ФЧХ должны иметь вид:
,
.
Требование к ФЧХ фильтра можно представить также в виде
,
(13)
где
– называется групповым временем
задержки. Фильтры с ФЧХ, удовлетворяющей
уравнению (13), называются фильтрами
Бесселя.
На практике условие (13) можно выполнить
лишь на начальном участке полосы
пропускания (
).
Кроме того, еще одним условием сохранения
формы сигнала является постоянство АЧХ
в полосе пропускания. Это требование
также достаточно хорошо выполняется
лишь при
.
Фильтры, спроектированные на основе
уравнения (13), лучше, чем фильтры
Баттерворта и Чебышева, передают форму
сигналов. Особенно это заметно для
ступенчатых сигналов
.
Спектр ступенчатых сигналов состоит из непрерывного набора гармонических составляющих, причем амплитуда компонент спектра уменьшатся с увеличением их частоты. Отклик фильтра на ступенчатый сигнал называется переходной характеристикой. У фильтров Баттерворта и Чебышева переходные характеристики сопровождаются плавно затухающими колебательными процессами. У фильтров Бесселя колебания на переходной характеристике отсутствуют, а ее форма близка к ступенчатой.
Перейдем к вопросу об определении коэффициентов в передаточной функции фильтра Бесселя. Способ расчета коэффициентов рассмотрим на примере фильтра второго порядка. Для этого случая коэффициент передачи и его ФЧХ имеют вид (для сравнения вспомним, что расчет коэффициентов фильтра Баттерворта осуществлялся на основе АЧХ)
,
.
Отсюда находим групповое время задержки
.
Условие
можно выполнить лишь при
.
Тогда последнее слагаемое в знаменателе
будет мало по сравнению с остальными и
им можно пренебречь. А чтобы все выражение
не зависело от частоты, знаменатель и
числитель должны быть равны друг другу.
Отсюда следует соотношение между
коэффициентами
.
Еще одно соотношение можно получить,
наложив какое-либо дополнительное
условие на коэффициент передачи. Обычно
выбирают условие половинного уменьшения
мощности гармонического сигнала на
частоте
:
.
Тогда
.
Из обоих соотношений получим
,
.
Вычисление коэффициентов для фильтров более высоких порядков производится аналогично, хотя трудоемкость расчетов при этом возрастает. В ссылке [1] имеется таблица коэффициентов. Пользуясь ею, приведем в качестве примера передаточную функцию фильтра Бесселя пятого порядка
. (14)
В заключение раздела отметим следующее обстоятельство. Последовательное соединение фильтров одного и того же типа не приведет к реализации фильтра того же типа. Например, из двух фильтров Бесселя второго порядка нельзя составить фильтр Бесселя четвертого порядка. Соответственно, перемножение передаточных функций не дает функции того же типа более высокого порядка.