4) Біркелкі зарядталган сферанын тудыратын өрісінің кер-

неулігі.

Радиусы К сфера алайық: оның жалпы ц оң заряды сфераның V

көлемінде түрақты о тығыздықпен орналасқан болсын,

Р - - “ 1Г~-

У 4-лК'

3

Сферадан тыс жатқан жердегі өріс үшін (г>К) беттік зарядталған

сфера жағдайындағыдай ( 1 0 -сурет) (2 1 ) өрнектегідей нэтижені

шығарып алуға болады. Алайда сфераның ішіндегі нүктелер үшін бұл

нэтиже басқаша болады. Шынында да радиусы (г’<К) сфералық бетте

болады. Онда Остроградский-Р р -4я г ■» заряд Гаусс теоремасы

бойынша

Е (г ) 4лг 2 « — р — пг г(4пр — лг 3) .

е„ 3 3

Осыдан Е (г ') = — р ^ - ( = ^ л г ) . „ 3 3

немесе

220

Е( г ) 1

4та0 Л!

мынандай

г - ( - - 2 г гш) (г’<К).

Д

(23)

11-сурет

Е

Осыдан

қорытынды шыгады:

Біркелкі зарядталган сфера

озінен тыс жатқан нүктелерде (г>Я)

барлық заряд оның центрінде

жинақталған жагдайдағыдай кер-

неулік тудырады [(5) жэне (21) фор-

мулаларды қара)], ал біркелкі

іарядталган сфера ішіндегі кер-

неулік сфера центірінен бастап ара-

кашықтыққа пропорционап осетінін

кореміз (23) (1 1-сурет).

5) Біркелкі зарядталган

шектеусіз цилиндрлік беттіц

гудыратын өрісініц кернеулігі.

Радиусы К цилиндірлік бет

шіайық, оның зарядының беттік

іыгыздыгы <т = түрақты болсын.

Сонда цилиндірдің сыртында жат-

кан бір А нүктесіндегі өріс кер-

неулігін анықтайық. ( 1 2 -сурет).

Есептің симметриясы бой-

і.інша кернеулік векторы Е, радиус-

кектор г-дің созындысымен сәйкес

келеді. Биіктігі Ь цилиндірдің жо-

щргы жэне төменгі табандары ци-

линдір өсіне перпендикуляр. Осы

ңилиндірге Остроградский-Гаусс

ісоремасын қолданайық. Бүл ци-линдірлік бет арқылы отетін толық

•гын тек қана оның бүйір бетінен отетін агынга тең болады, өйткені,

цнлиндірдің табаны кернеулік сызыктарга параллель болгандықтан,

олардан өтетін агын нольге тең болады. Сонда кернеулік сызықтары

цилиндірдің бүйір бетіне перпендикуляр болатындықган, біз Ф толық

иі і.інды кернеуліктің Е сан мэнін цилиндірдің бүйір бетінің 2пгЬ

иуданына кобейту арқылы шыгарып аламыз:

Ф - 2ягІ.. (24)

Остроградский-Гаусс теоремасы бойынша осы агын түйық

іишиндрлік беттің ішіндегі я зарядты — (немесе (4я)) көбейткенге

12-сурет

221

тең, ал бұл я заряд цилиндрдің Ь ұзындыгына келетін зарядқа тең

<7 - ст2 яШ. , демек Острофадский-Г аусс теоремасы бойынша

1 ІпгЬЕ = — о2кКЦ4п<у2лКІ).

Осьщан АлаН

)• (25)

Егер Я = 77 = 2лК о цилиндрдің ұзындык бірлігіне қатысты заряд

мөлшері деп белгілесек, онда

Е ~ - ^ ( - ^ - ) . (г К) (26)

2ле0 г

§7. Электростатикалық өріс күштерінін жүмысы. Кернеулік

векторынын цнркуляциясы. Электростатикалық өрістің

потенциалдық характері.

Қозгалмайтын нүктелік ц оң зарядтың өрісіндегі күштердің, осы

өрістің бір нүктесіне қойылган ц0 сыншы зарядты өрістің 1 нүктесінен

2 Нүктесіне орын ауыстырган кездегі оріс күштерінің істейтін

жүмысын табайық (13-сурет).

Ол үшін 1 нүктесінен 2 нүктеге

дейін орын ауыстыру жолын сІЬ элемен-

тар бөліктерге бөліп, солардың біреу-

індегі элементар жүмысты табайық. Ол

<1А = /сИ С05 а 1 ЯЧо

1

4ле„

- <ІЬ со5 а ■

ЧЧ осіг.

4 л е 0 г '

Осыдан

А., - 4А = —

•(27)

Г аусстық жүйеде

Г‘ йг

чч<, — ■ Ч 0

4ле„

(. _ і )

. 1 болады. 1

4 л е0

Осьщан, нүктелік зарядтың өрісінде, өріс күштерінің ц„

зарядты көшіру жүмысы, ц0 зарядтың орын ауыстыратын жолыни

байланысты емес, тек қана осы зарядтың бастапқы жэне ақыргы

орнына (гі мен г2-ге) байланысты екендігін көреміз. Демек ц„ зарядки

әсер ететін қозгалмайтын заряд өрісінің тудыратын күштері

потенциалдық екендігін көреміз.

222

Мынадай теңцікпен анықталатын V функциясын енгізейік

Ғ = ^ +С. (28)

Г

Сонда 1 жэне 2 нүктелер үшін V, - — + С , У2 = — + С .

Г\ Г2

Осыдан V, - У2 айырмасы — айьфмасынатең.

Л Г2

(28) тендікпен анықталатын V функциясы нүктелік ц зарядтың

ніііп іц и алы деп атапады. (27) ернекке потенциал мэнін енгізіп,

мі.иіаны табамыз:

4 2 - у4^яв(0К - Ү 2 ) ( - яЛК-Уг))- (29)

Осыдан мынадай қортынды шыгады: өріс күштерінің заряд-

іы кошіру жүмысы сан жағынан апғанда зарядтың шамасын жолдың

Опішпқы жэне ақырғы нүктелердегі потенциалдар айырмасына көбей-

ікгіис тең болады да, жолдың формасына байланысты болмай, тек

Нйнп чарядтың алғашқы жэне соңғы орнына ғана байпанысты бола-

іыидмгын көреміз.

Г.гер жол түйықталған болса, онда Үі=У2, жэне (29) формула

ПоМыпша жүмыс нольге тең. Яғни, заряд түйық жолмен орын

йуі.ігп.ірганда электростатикалық күштер жүмысы нольге тең. ц0

Мрилгың түйық контурды айнала қозғалғанда өріс күштерінің

врымдайтын жүмысы мынандай өрнек түрінде де жазылуы мүмкін:

А = о чаЕ'<И, = 0.

Осыдан А = 0 бойынша

о д 0Е есИ = 0 0.

Сондықган оЕ^сіІ = 0 . (30)

0 Е,сіі = 0 түріндегі өрнек берілген контур бойынша кернеулік

Икюрының циркуляциясы деп аталады. Сонда (30) өрнек

і ігн і росгатикалық өрісіке тән нәрсе, кез келген түйық контур

АнМынша кернеулік векторыныц циркуляциясы нольге тең бола-

іы м і і і .і гы н көрсетеді. Осындай (30) шарт орындалатын өрісті, потен-

і і і ій і і оріс деп атайды.