§10. Гармониялық тербелістер.

Тербелістің амплитудасы, жиілігі және фазасы.

Ұзындығы /0 пру-

жинаға ілінғен, массасы

т шариктен тұратын

жүйені қарастырайық

(10-сурет). Тепе-тендік

күйінде тЃ’ күші Ши

серпімділік күшімен тең-

геріледі:

т& = кА10 (51)

Шариктің тепе-

тендік қалпынан

ығысуын X

координатасымен сипат-

22

таймыз, жэне эрі л: осін вертикапь бойынша төмен багыттаймыз, ал

осьтың нолін шариктыңтепе-теңдік калпымен үйлестіреміз.

Егер шарикты тепе-тендіктен лг-ка (д:-алгебралық шама) тең

кашықтыкка ыгыстырсақ, онда серіппеннің ұзаруы д 1„+х шамасына

тең болады жэне қорыткы күштің .V осіне проекциясы / мынадай мэн

кабылдайды:

(51) өрнектегі тепе-теңдік шартын ескере отырып , төмендегіні

аламыз

Бүл өрнектегі «-» ыгысу мен күштің бағытгары қарама-қарсы

екендігін білдіреді; егер шарик тепе-теңдік қаппынан төмен қарай

(х >0) ыгысса, күш жогары карай, (д;<0) ыгысқанда күш төмен ( / > 0)

багытталады. Сонымен / күшінің төмендегідей касиеттері бар;

1) ол шариктің тепе-теңдік калпынан ыгысуына

пропорционал,

2) ол эрқашанда тепе-тендік қалпына қарай багыттапган.

Жогарыда карастырылган мысапда (52) өрнекпен аныкталатын

күш шынында, езінің табигаты бойынша серпімді. Басқа тектегі

күштерде де осындай заңдылык байкалуы мүмкін, ягни -кх шамасына

тең болуы мүмкін, мұндагы к-тұракты оң шама. Табигатына

карамастан, мұндай күштерді квазисерпімді деп атау келісілген.

Жүйеге х ыгысу беру үшін, квазисерпімді күшке қарсы

томендегідей жұмыс істеу керек:

Бұл жұмыс жүйенің потенңиялық энергиясының қорын жасауга

жұмсалады. Демек, квазисерпімді күш эсер ететін жүйе, тепе-тендік

калпынан дг кашыктыкка ыгысқанда мына төмендегідей потенциялық

энергияга ие болады:

(мұнда тепе-теңдік калыптагы потенциялық энергияны нольге

тең деп есептелінді)

Осы (54)өрнек деформацияланган серіппеннің потенциялық

энергиясының өрнегіне сәйкес келеді.

10-суретте көрсетілген массасы т шариктің қозгалыс заңын

табайык. Ол үшін шарикке арнапган Ньютонның екінші заңың былай

жазамыз:

/ = т% - ҢАІ + х ) .

/ = -**. (52)

(53)

(54)

тіі = -кх .

23

Бұл теңдеуді төмендегідей етіп түрлендірейік:

х + —х = 0 (55)

т

к

х -тын алдындағы коэффициент — > 0. Сондыктан оны мынадай

т

түрде жазуға болады;

Мұндағы го„ -заттык шама.

(55) өрнекке (56) өрнектегі белгілеуді колдана отырып мынаны

аламыз:

Х+СОцХ = 0 .

Сонымен, (52) -

өрнекпен берілген

(квазиеерпімді) күштің

әсерінен болатын шарик

қозғалысы екінші ретті

біртекті дифференциапдық

теңдеулер арқылы

зерттелетінін көреміз.

Ауыстыру

аркылы(57)тендеудің жалпы

шешуін төмендегідей

болатындығына оңай көз жеткізуге болады;

х = асо8(ш0і + сх), немесе х = а5Іп(со0і + а') (58)

Мұндагы а ' = а + ^ кез келген тұрақты шамалар.

Сонымен х ығысу уақыт бойынша косинус немесе синус заңына

сәйкес өзгеретіндігін көреміз. Демек, / = -Ьгтүріндегі күштің эсерінде

(серпімді немесе квазисерпімді) болатын жүйенің козғапысы

гармониялық тербеліс болып табылады.

Гармониялык тербеілістің, ягни (58) функциясының графигі 11-

суретте көрсетілген.

Горизонталь оське і уақыт, ал вертикаль оське х ыгысу салын-

ған. Косинус -1 - ден +1 -ге дейін өзгеретіндіктен, дг-тің мэні -а-дан

+а-ға дейінгі аралықта жатады.

Жүйенің тепе-тендік қалпы-нан ең үлкен ауыткуы тербеліс

амплитудасы деп аталады. Тербе-ліс амплитудасы а-тұрақты оң

шама.

(57)

11-сурет

24

Косинус танбасының астын-да тұрган (со„і+а) шамасы тербеліс

фаіасы деп аталады. в-тұрактысы фазаның / = 0 уакыт мезетіндегі

мәні болып табылады жэне ол тербелістін бастапқы фазасы деп

аталады.

Косинус-периоды 2л--ге тең периодты функция болгандықтан,

гармониялык тербеліс жасайтын жүйенің эртүрлі күйі тербеліс фазасы

2л--ге тең өсімше қабылдайтындай Т уақыт аралығы сайын

кайталанады (11-сурет). Осы Т уақыт аралығы тербеліс периоды деп

аталады. Оны мына төмендегі шарттан аныктауға болады;

[ю„ (I + Т) + а] = [со„! + а\ + 2ж, осыдан

Г = — . (59)

Бірлік уақыт ішіндегі тербеліс саны V тербеліс жиілігі деп

атапады. і/-жиіліктің бір тербеліс ұзактығымен төмендегі қатынас

арқылы байланысатындығы белгілі:

V = —1 .

Т

(60)

(61)

ішіндегі тербеліс санын

Жиілік бірлігі үшін периоды 1 сек-ке тең тербеліс жиілігі

алынады. Бүл бірлікті герц (гц) деп атайды.

(59) өрнектен мына төмендегі катысты алуға болады:

2тг соп = — .

0 Т

Осыдан, со0 шамасы 2л сек

беретіндігін көреміз. Сондықтан ю„

шамасын дөңгелектік немесе

пиклдік жиілік деп те атайды. Ол

эдетте V жиілікпен төмендегі қатыс

арқылы байланысады:

<и0 = 2я-и. (62)

(58) өрнектің біріншісін уақыт

бойынша дифференциалдап, жыл-

дамдыққа арналған өрнекті табамыз:

(63)

V = х = -асо„ 8Іп(ю0/ + а) = асо„ соз(<а„і + а + у)

Осыдан, жылдамдық та гар-

мониялык заң бойынша өзгеретін-

дігін жэне жылдамдық амплитудасы

аю„ шамасына тең болатындыгын

көреміз. (58) және (63) өрнектерін

25

салыстыра отырып, жылдамдык ығы-судан фазасы бойынша ^ ша-

масына озып кететіндігін көреміз. (63) өрнекті тағы да уакыт бойынша

дифференциалдасак үдеуге арналған мынадай өрнекті табамыз:

и>=х=-аа)„ С05(со„І + а)=асоІ + а + я). (64)

Осы (64) өрнектен үдеу мен ыгысу карама-қарсы фазада

жататындыгын көреміз. Мұның өзі ыгысу ең үлкен оң мәніне

жеткенде, үдеу ең үлкен теріс мәніне жететіндігін жэне керісінше

болатындығын көрсетеді.

12-суретте д;-ығысу, о-жылдамдық жэне и--үдеуге арналған

графиктер келтірілген.

Әрбір нақты тербеліс аамплитуда мен бастапқы фазаның белгілі

бір мэні бойынша сипатталады. Берілген тербеліс үшін бүп

шамапардың мәндері бастапкы шарттардан, яғни дг„ ауытку жэне о0

уақыттың бастапкы мезетіндегі жылдамдықтың мэндерімен

анықталады. Шынында да (58) жэне (63) өрнектеріндегі і = 0 деп

үйғарып, екі теңдеу аламыз:

х0 = асо$а, и0 = -асо0 5іпа,

Осылардан төмендегіні табамыз:

і%а = —

(65)

(66)