§5. Планеталардын қозгалысы. Кеплер зандары.

Ньютонның бүкіл әлемдік тартылыс заңын анықтауы үшін

планеталар қозғалысының Кеплер ашқан үш заңы негіз болган еді;

1. Барлық планеталар эллипс бойынша қозғапады, оның бір

фокусында Күн болады.

2. Планеталардың радиус - векторы тең уақыттар арасында

бірдей аудандар сызады.

3. Планеталардың Күнді айналу периодтарының квадрат-

тарының қатынасы олардың орбитапарының үлкен жарты осьтері

кубтарының қатынасындай болады.

Кеплердің бірінші заңы планеталардың центрлік күштер

өрісінде қозғалатындығын көрсетеді. Шынында да, центрлік күштер

өрісіндегі дене траекториясы жазық қисық сызық - гипербола,

парабола немесе эллипс - түрінде болады, оның фокусы күш

центрлерімен дэл келеді.

86

Планеталар козғалыс заңын аныктауды жеңілдету үшін олардың

орбитасы эллипс емес, шеңбер болады деп қарастыруға болады,

өйткені іс жүзінде барлық планетапар орбиталарының шеңберден

айырмашылығы өте аз болды. Сонда планета козғалатын үдеуді мына

V2 түрде жазуға болады: = — , (18)

мүндағы о - планета қозғалысының жылдамдығы, г - орбита

радиусы. V жылдамдықты (Т- планетаның Күнді айнапу

периоды) арқылы алмастырайық:

(19)

Соңғы өрнектің неғізінде Күн жағынан планетаға әсер ететін

қүштердің қатынасы мынадай болып жазылады:

А _ т ім'і = т\г\г г2 (20)

/ 2 т2^ 2 т2г2Тх2

Кеплердің үшінші заңына сәйкес айналу периоды квадрат-

тарының қатынасын орбита радиустары кубтарының катынасымен

алмастырып, мынаны шығарып аламыз:

(21)

/ і г \ Г 2

Сонымен, Кеппердің үшінші заңынан мынадай қорытынды

шығады; планетаның Күнге тартылатын күші планета массасына тура

пропорционал, ал оның Күнге дейінгі қашықтыгының квадратына кері

пропорционал болады:

/ = *4г - (2 2 )

қ - пропорционалдық коэффициент ез кезегінде Мк Күн

массасына пропорционал болады деп үйгарып, Ньютон бізге белгілі

бүкіл әлемдік тартылыс заңын өрнектейтін мына формулаға тоқтаған:

тМ к

(23)

г

§6 . Бірінші және екінші космостык жылдамдыктар.

Радиусы Кж Жер радиусымен шамапас дөңгелек орбита

бойымен Жерді айнала қозгалу үшін дене белгілі бір ц жылдам-

дығына ие болуға тиіс, ал мүндай жылдамдықтың шамасын дене

массасының осы денеге әсер ететін ауырлық күшінің центрге тартқыш

үдеуіне көбейтіндісінің теңдік шартынан табуға болады:

87

кж : т% (24)

Осыдан о , = 7 ^ Г - ( 2 5 )

Демек, кандай да болсын дененің, Жер серігі болуы үшін оған

бірінші космостық жылдамдык деп атапатын о, жылдамдыгы

берілуі кажет. § жэне Кж мэндерін орнына койғанда бірінші

космостык жылдамдыктың келесі мэні шығады:

Ц - 7 І ^ Г л / 9 . 8 * М * Ю 6 м/сек=8км/сек ( 2 6 )

о , жылдамдыгына ие болған дене Жерге кұлап түспейді. Алайда

бүл жылдамдык дененің жерге тартылу сферасынан

шығып кетуі үшін, яғни Жерге тартылу елеулі роль

аткармайтындай қашыққа Жерден үзап кетуі үшін

жеткілікті болмайды. Осыған кажетті о2

жылдамдыгы екінші космостык жылдамдық деп

аталады.

Екінші космостық жылдамдықты табу үшін

дененің Жер бетінен шексіздікке қашықгап кетуіне

кажетгі Жерге тартылу күшіне карсы істелетін

жүмысты есептеп шығару керек. Енді дененің Жер

центрі арқылы өтетін түзу бойымен орын ауыстыр-

ғанда істелетін жүмысын есептеп шығарайық ( 5 4 -

сурет). сіг жолында істелетін элементар жүмыс

мынаған тең:

тМ „

сіА=/(іг=у- йг

г ‘

г=Кж-ден г= -ке дейінгі жолда

жүмысты интегралдау арқылы табамыз:

істелген 54-сурет

сіА- т М ж

у — -— аг ■ ( 2 8 )

Ауырлық күші Жердің тарту күшіне тең болады деп жора-

малдап, мынаны жазуға болады:

те = у-

тМ . осыдан у- = т8Яж

Сонымен, ( 2 8 ) жүмысты мынадай түрге келтіруге болады:

А - тёКж . ( 2 9 )

Жерге тартылу күшін жеңіп, Жердің тарту күші әсерінен

шығып кету үшін дене ( 2 9 ) жүмысын істеуге жетерліктей энергия

88

қорына ие болуга тиіс. Осыған қажетгі ең аз V; жылдамдығы екінші

космостық жылдамдык болады. Ол мына шартпен анықталады:

“ т8Кж> осыдан , (30)

(30) формуланы (25) формуламен салыстырғанда екінші

космостық жылдамдықтың бірінші космостық жылдамдықтан -І2 есе

көп екендігі көрінеді. Сонда, 8 км/сек-ты санына көбейтсек, \ 2

үшін шамамен 11 км/сек мэнін шыгарып аламыз.

89