3.3.2 Законы распределения погрешностей

Теория погрешностей, использующая математический аппарат теории вероятностей, основывается на аналогии между появлением случайных погрешностей при многократно повторенных измерениях и появлением случайных событий. Из теории вероятностей известно, что для характеристики случайных величин, в нашем случае погрешностей прибора или измерения (вместе с их систематической составляющей), необходимо определить их закон распределения.

В теории случайных погрешностей формулируются две аксиомы.

Аксиома симметрии (случайности) - при очень большом числе измерений случайные погрешности, равные по величине, но различные по знаку, встречаются одинаково часто.

Аксиома распределения - чаще всего встречаются меньшие погрешности, а большие погрешности встречаются тем реже, чем они больше.

Если эти аксиомы соблюдаются, то при неограниченном увеличении числа независимых причин, вызывающих погрешности, мы имеем нормальный закон распределения случайной погрешности.

(2.3)

где P(х) - плотность вероятности случайной величины X;  - среднее квадратическое отклонение.

Интегральный и дифференциальный законы распределения

Одно из нарушений нормального закона распределения погрешностей при соблюдении аксиом состоит в появлении плосковершинности и островершинности, как показано на рисунках.

Островершинное распределение Равномерное (равновероятное) распределение

В пределе для плосковершинного распределения, когда уже аксиома не соблюдается, оно превращается в равномерное.Нарушение аксиомы распределения может привести к тому, что малые погрешности встречаются реже, чем большие. В этом случае середина кривой распределения плотности вероятностей оказывается прогнутой вниз и распределение становится "двугорбым" - так называемым двухмодальным.

Двухмодальное распределение

Модой дискретной случайной величины называют ее наиболее вероятное значение, а для непрерывной случайной величины модой является то значение, при котором плотность вероятности достигает максимума. В пределе такое двухмодальное распределение может превратиться в распределение, когда единственно наблюдаемыми погрешностями будут только погрешности Xmax (см. рис.). Например, погрешность от люфта в кинетической цепи, погрешность от гистерезиса имеют вид двухзначной дискретной погрешности.

3.3.3 Точечные оценки характеристик результатов измерений (законов распределения)

Статистическое описание случайной величины полным указанием законов распределения слишком громоздка. На практике достаточно указать только отдельные числовые характеристики закона распределения случайной величины. Для оценки того или иного свойства законов распределения случайной величины в теории вероятностей используют числовые характеристики, называемые моментами. Все моменты представляют собой некоторые средние значения, причем если усредняются величины, отсчитываемые от начала ко­ординат, то моменты называют начальными, а если от центра рас­пределения, то центральными.

Прежде всего нас интересует положение случайной величины на числовой оси, т.е. ее систематическая составляющая - ее среднее значение, определяющее положение области, в которой группируется значения случайной величины.

Математическое ожидание - начальный момент первого порядка.

Среднее значение случайной величины называется ее начальным (первым) моментом или ее математическим ожиданием.

т.е. определяется как сумма произведений всех возможных значений дискретной случайной величины Х на вероятность этих значений Р.

Для непрерывной случайной величины выражение для математического ожидания можно записать

где P(X) - плотность распределения вероятностей случайной величины Х.

В отличие от среднего арифметического значения, которое само является случайной величиной, т.к. зависит от испытаний, математическое ожидание является числом, которое связано только с законом распределения случайной величины. Математическое ожидание центрированной случайной величины всегда = 0.

При проведении серии измерений определяют оценку среднего арифметического значения

Дисперсия случайной величины - второй центральный момент

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины и характеризуется рассеяние значений случайной величины вокруг математического ожидания.

Так как дисперсия имеет разность квадрата случайной величины, то она выражает как бы мощность ее рассеяния. Для наглядной характеристики самой величины рассеяния пользуются среднеквадратическим отклонением (СКО) случайной величины Х, которое равно = и имеет размерность самой случайной величины.

На рисунке изображены кривые нормального распределения случайных погрешностей для различных значений среднеквадратического отклонения.

Из рисунка видно, что по мере увеличения среднеквадратического отклонения распределение все более и более расплывается, вероятность появления больших значений погрешностей возрастает, а вероятность меньших погрешностей сокращается, т.е. увеличивается рассеивание результатов наблюдений.

На практике. при проведении серии измерений определяют оценку СКО

С увеличением количества измерений n оценка значения величины  практически перестает зависеть от n, а это означает, что значение  известно точнее, а значит, в итоге уменьшается неточность при оценивании погрешности отдельного измерения. С ростом n также стабилизируется оценка  . Следовательно, должна уменьшаться погрешность окончательного результата многократного измерения, за который принимают среднее значение  .

Связь оценки среднего квадратичного отклонения окончательного результата (другими словами, погрешности определения среднего значения) и оценки среднего квадратичного отклонения отдельного измерения задает соотношение

При проведении измерений, при их большом числе n, принято считать что:

среднее арифметическое значение измеряемой величины равно математическому ожиданию M[x], оценка СКО равна  т.е самому СКО.

Третий центральный момент характеризует асимметрию, или скошенность распределения. Для всех симметричных относительно математического ожидания законов распределения этот момент равен нулю.

Иллюстрация «скошенности» закона распределения

Для относительной характеристики асимметрии обычно пользуются коэффициентом асимметрии:

На рис. 2.12 коэффициент асимметрии обозначен не ,а S.

Четвертый центральный момент служит для описания островершинности или плосковершинности распределения. (Эти свойства описываются с помощью относительного значения четвертого момента, или так называемого эксцесса, который находится как:

Для нормального закона распределения = 0, остальные распределения сравниваются с нормальными, поэтому вычитается тройка.. Кривые более островершинные по сравнению с нормальным законом, обладают положительным эксцессом, а плосковершинные кривые - отрицательным эксцессом.

На рис.а показано влияние коэффициента асимметрии, а на рис.б влияние эксцесса, на вид функции распределения плотности вероятности.