2) Знайти оптимальні плани прямої та двоїстої задач, зробити їх економічний аналіз
Знайдемо оптимальні плани прямої та двоїстої задач та виконаємо їх економічний аналіз. Використаємо симплекс-метод для розв'язування прямої задачі.
Зведемо задачу до канонічного вигляду, для чого введемо додаткові чи базисні вектори:
Побудуємо початкову симплекс-таблицю, де Q – невід'ємне відношення стовпця плану до ключового стовпця.
№ |
Базис |
Cб |
План |
60 |
80 |
40 |
20 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Q |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
|||||
1 |
x5 |
0 |
40 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
40 |
2 |
x6 |
0 |
20 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
– |
3 |
x7 |
0 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
5 |
4 |
x8 |
0 |
15 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
– |
5 |
x9 |
0 |
10 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
– |
6 |
Δj |
0 |
–60 |
–80 |
–40 |
–20 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
– |
|
Cтовпчик 2 є ключовим, оскільки він містить мінімальний від'ємний елемент Δ2 = –80. Рядок 3 є ключовим, оскільки в ньому мінімальне Q3 = 5. Ключовий елемент знаходиться на їх перетині і рівний числу 1. Замість вектора x7, який вилучаємо з базису, вводимо вектор x2. Ділимо ключовий рядок на ключовий елемент 1. Множимо його на 80 і додаємо до 6 рядка. Множимо його на –1 і додаємо до 1 рядка. Одержимо наступну симплекс-таблицю.
№ |
Базис |
Cб |
План |
60 |
80 |
40 |
20 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Q |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
|||||
1 |
x5 |
0 |
35 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
–1 |
0 |
0 |
35 |
2 |
x6 |
0 |
20 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
20 |
3 |
x2 |
80 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
– |
4 |
x8 |
0 |
15 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
– |
5 |
x9 |
0 |
10 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
– |
6 |
Δj |
400 |
–60 |
0 |
–40 |
–20 |
0 |
0 |
80 |
0 |
0 |
– |
|
Cтовпчик 1 є ключовим, оскільки він містить мінімальний від'ємний елемент Δ1 = –60. Рядок 2 є ключовим, оскільки в ньому мінімальне Q2 = 20. Ключовий елемент знаходиться на їх перетині і рівний числу 1. Замість вектора x6, який вилучаємо з базису, вводимо вектор x1. Ділимо ключовий рядок на ключовий елемент 1. Множимо його на 60 і додаємо до 6 рядка. Множимо його на –1 і додаємо до 1 рядка. Одержимо наступну симплекс-таблицю.
№ |
Базис |
Cб |
План |
60 |
80 |
40 |
20 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Q |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
|||||
1 |
x5 |
0 |
15 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
–1 |
–1 |
0 |
0 |
15 |
2 |
x1 |
60 |
20 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
– |
3 |
x2 |
80 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
– |
4 |
x8 |
0 |
15 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
15 |
5 |
x9 |
0 |
10 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
– |
6 |
Δj |
1600 |
0 |
0 |
–40 |
–20 |
0 |
60 |
80 |
0 |
0 |
– |
|
Cтовпчик 3 є ключовим, оскільки він містить мінімальний від'ємний елемент Δ3 = –40. Рядок 1 є ключовим, оскільки в ньому мінімальне Q1 = 15. Ключовий елемент знаходиться на їх перетині і рівний числу 1. Замість вектора x5, який вилучаємо з базису, вводимо вектор x3. Ділимо ключовий рядок на ключовий елемент 1. Множимо його на 40 і додаємо до 6 рядка. Множимо його на –1 і додаємо до 4 рядка. Одержимо остаточну симплекс-таблицю.
№ |
Базис |
Cб |
План |
60 |
80 |
40 |
20 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
||||
1 |
x3 |
40 |
15 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
–1 |
–1 |
0 |
0 |
2 |
x1 |
60 |
20 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
3 |
x2 |
80 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
4 |
x8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
–1 |
–1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
5 |
x9 |
0 |
10 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
6 |
Δj |
2200 |
0 |
0 |
0 |
20 |
40 |
20 |
40 |
0 |
0 |
|
Останній рядок таблиці не містить від'ємних елементів, отже знайдений розв’язок є оптимальним: X = (20, 5, 15, 0), zmax = 2200.
Плановий стовпчик містить розв'язок даної задачі: X = (20, 5, 15, 0, 0, 0, 0, 0, 10).
Це означає, що оптимальним планом виробництва є такий, при якому посачається 20 партій масла до Києва, 5 партій – до Вінниці та 15 партій – до Харкова.
При цьому максимальний дохід становитиме 2200 грн.