Задача 16.

Виробнича потужність Яготинського молокозаводу – 8000 пачок вершкового масла. Завод розвозить свою продукцію до Києва, Вінниці, Харкова та залишає в Яготині. Продукцію поставляють партіями по 200 штук пачок.

Визначити оптимальний план доставки вершкового масла за умови даних таблиці:

Місто	Собівартість однієї пачки, грн.	Оптова ціна однієї пачки, грн.	Вартість, грн. доставки партії, 200 шт.	Кошти на перевезення, грн.	Попит, пачок
Київ	1,6	1,9	5	100	5000
Вінниця	1,6	2,0	6	80	1000
Харків	1,6	1,8	4	90	3000
Яготин	1,6	1,7	1	50	2000

Завдання:

1. записати математичні моделі прямої та двоїстої задач;

2. знайти оптимальні плани прямої та двоїстої задач, зробити їх економічний аналіз;

3. визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва продукції, та рентабельність кожного виду продукції;

4. обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни запасів дефіцитних ресурсів;

5. розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної продукції;

6. реалізувати розв’язування прямої задачі, використовуючи програмний засіб (Mathematika, MS Excel, Lindo тощо).

Розв’язання

1) Записати математичну модель даної задачі та двоїстої до неї

Сформулюємо математичну модель даної задачі та двоїстої до неї. Шукану кількість партій масла, що потрібно доставити до Києва позначимо через x₁, до Вінниці – через x₂, до Харкова – через x₃ та залишити в Яготині – через x₄.

Оскільки продукцію поставляють партіями по 200 штук пачок, то потужність молокозаводу в одиницях партій становить 8000 / 200 = 40 партій.

Тоді сума змінних не повинна перевищувати вказане значення 40:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ ≤ 40.

З огляду на те, що кожне місто має свій попит в пачках, перетворимо його в партії діленням на 200:

Місто	Попит, пачок	Попит, партій
Київ	5000	25
Вінниця	1000	5
Харків	3000	15
Яготин	2000	10

Отже, маємо наступні 4 обмеження:

x₁ ≤ 25, x₂ ≤ 5, x₃ ≤ 15, x₄ ≤ 10.

Також, зважаючи обмеженість коштів на перевезення, маємо ще 4 обмеження:

5x₁ ≤ 100, 6x₂ ≤ 80, 4x₃ ≤ 90, x₄ ≤ 50

або

x₁ ≤ 20, 3x₂ ≤ 40, 2x₃ ≤ 45, x₄ ≤ 50.

Об’єднавши нерівності двох груп, остаточно матимемо:

x₁ ≤ 20, x₂ ≤ 5, x₃ ≤ 15, x₄ ≤ 10,

тобто лише в Київ обсяг перевезення обмежений коштами, в інші міста – обмежує попит.

Побудуємо цільову функцію. Оптимальний план доставки вершкового масла визначається максимумом доходу від реалізації продукції. Обчислимо за даними таблиці шукану величину доходу від реалізації партії вершкового масла. Для цього від оптової ціни пачки масла віднімемо її собівартість і результат помножимо на 200 – одержимо чистий дохід від продажу партії масла:

– Київ: (1,9 – 1,6) ∙ 200x₁ = 60x₁;

– Вінниця: (2,0 – 1,6) ∙ 200x₂ = 80x₂;

– Харків: (1,8 – 1,6) ∙ 200x₃ = 40x₃;

– Яготин: (1,7 – 1,6) ∙ 200x₄ = 20x₄.

Тобто загальний дохід складає: z = 60x₁ + 80x₂ + 40x₃ + 20x₄.

Отже, приходимо до математичної задачі: серед всіх невід’ємних розв’язків системи обмежень:

потрібно знайти такий, при якому функція z набуде максимального значення:

z = 60x₁ + 80x₂ + 40x₃ + 20x₄ → max.

x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0.

Побудуємо двоїсту задачу до даної [АКУ, c. 88].

1. Запишемо обмеження таким чином, щоб були однакові знаки: більше чи менше. У даному випадку – знаки "<" вже стоять.

2. Оскільки цільова функція вихідної задачі задає максимум, то двоїста задача буде визначати мінімум.

3. Матриця коефіцієнтів двоїстої задачі одержується шляхом транспонування матриці коефіцієнтів даної задачі.

4. Кількість змінних двоїстої задачі рівна числу співвідношень вихідної задачі, тобто 4, а кількість обмежень двоїстої задачі рівна числу змінних вихідної задачі, тобто 3.

5. Коефіцієнтами при невідомих в цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени в системі вихідної задачі, а правими частинами в співвідношеннях системи двоїстої задачі є коефіцієнти при невідомих цільової функції.

6. Якщо змінна вихідної задачі більша 0, то відповідне обмеження двоїстої – нерівність, інакше – рівняння.

7. Якщо обмеження даної задачі – нерівність, то відповідна змінна двоїстої більша чи рівна 0.

Таким чином, двоїста задача матиме вигляд:

z* = 40y₁ + 20y₂ + 5y₃ + 15y₄ + 10y₅ → min

y₁, y₂, y₃, y₄, y₅ > 0.