4. Совместное решение баллистической задачи и задачи встречи

Принцип совместного решения баллистической задачи и задачи встречи заключается в том, что обе задачи объединяются в одну, которая решается из общего векторного многоугольника. Достоинством такого решения является меньшее число замкнутых контуров и, как следствие, более высокая точность решения.

Основная идея совместного решения баллистической задачи и задачи встречи поясняется на рисунке 9, в котором для упрощения принято, что упрежденная точка А_у и баллистическая точка А_б лежат в одной плоскости.

Введем понятия фиктивной точки, фиктивной дальности и баллистического понижения траектории.

Фиктивной точкой А_ф называется точка, в которой оказался бы снаряд в отсутствие силы тяжести через полетное время t_п, равное полетному времени до баллистической точки А_б.

Фиктивной дальностью называется дальность от точки О стояния орудия до фиктивной точки А_ф.

Баллистическим понижением h_б называется расстояние по вертикали от линии выстрела до траектории снаряда, в частности, это расстояние между фиктивной точкой А_ф и баллистической точкой А_б. Это понижение является следствием действия на летящий снаряд силы тяжести и силы сопротивления воздуха.

В прямоугольной системе координат координатами фиктивной точки являются горизонтальная баллистическая дальность d_б и фиктивная высота Н_ф. В полярной системе координат координатами фиктивной точки является фиктивная дальность D_ф и угол возвышения .

На рис.9 показано взаимное положение векторов упрежденной дальности , баллистической дальности , поправок , баллистического понижения траектории и фиктивной дальности .

Из векторного четырехугольника ОА_уА_бА_ф следует векторное равенство:

. (7)

Проектируя это равенство на оси выбранной системы координат, можно определить основные баллистические величины.

Геометрия совместного решения баллистической задачи и задачи встречи

Рассмотрим пространственный векторный многоугольник ОАА_уА_бА_ф (рис.10).

Из этого векторного многоугольника следует векторное равенство:

. (8)

В формуле (8) в состав правой части введен вектор параллакса , который на рисунке ввиду малости не показан.

Рис. 10. Геометрия совместного решения баллистической задачи и задачи встречи

Спроектируем векторное равенство (8) на оси корабельной системы координат ОХ_кY_кН. В результате проектирования получим систему из трех скалярных уравнений, определяющих координаты фиктивной точки А_ф:

(9)

В уравнениях (9):

– Х_к,Y_к,Н – координаты настоящего места цели (точки А);

– V_хк, V_ук, V_H – составляющие относительной скорости цели в корабельной системе координат;

– t_п – время полета;

– _xк, _yк, _H– составляющие вектора поправок;

– П_хк, П_ук, П_H – составляющие вектора параллакса.

– h_б – баллистическое понижение траектории.

Корабельная система координат ОХ_кY_кН удобна для определения координат и параметров движения цели, однако эта система координат не является рациональной для решения баллистической задачи.

Для перехода к рациональной системе координат выполняется два поворота. Первый поворот совершим в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси ОН на угол горизонтального наведения Q (рис.11):

В новой системе координат угол горизонтального наведения Q и баллистическая горизонтальная дальность d_б определяется из уравнений:

Q : Y_бк sin Q – Х_бк cos Q = 0, (10)

d_б: d_б = Y_бк cos Q+X_бк sin Q.

Второй поворот совершается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной направлению d_б на угол возвышения  (рис.12):

В полученной рациональной системе координат фиктивная дальность D_ и угол возвышения  определяются из уравнений:

(11)

Для получения замкнутой системы уравнений нужно к уравнениям (9) – (11) добавить уравнение для времени полета снаряда t_п.

Время полёта t_п определяется как функция фиктивной дальности и фиктивной высоты:

t_п = f₁(D_ф, Н_ф) (12)

Разрешая это уравнение относительно D_ф, получим

D_ф = f₂ (t_п, Н_ф). (13)

Анализ показывает, что уравнение (11) при постоянном t_п является линейным относительно Н_ф (рис.10):

D_ф = D_ф0 + а₀ Н_ф t_п, (14)

где D_ф0 – фиктивная дальность, соответствующая нулевой фиктивной высоте Н_ф (или нулевому углу возвышения ) и являющаяся функцией времени полета.

С целью упрощения вычислений эта зависимость, как и другие зависимости от t_п, часто вычисляются в виде полинома определенной степени от полётного времени t_п, например:

D_ф0 = а₁ t_п+a₂ t_п²+a₃ t_п³ +a₄ t_п⁴. (15)

Тогда

D_ф = а₁ t_п+a₂ t_п²+a₃ t_п³ +a₄ t_п⁴ +а₀ Н_фt_п. (16)

Из (16) следует, что фиктивная дальность D_ф есть функция полетного времени t_п и фиктивной высоты Н_ф.

Понижение траектории h_б в безвоздушном пространстве равно:

, (17)

где g = 9.8 м/с² – ускорение свободного падения.

С учетом сопротивления воздуха при небольщих h_б можно принять:

h_б = bt_п², (18)

где b – коэффициент пропорциональности, учитывающий сопротивление воздуха.