Статистическая совокупность измеримого признака х
Интервалы α i-1 – α i |
Сере-дины интерв.
|
Частоты |
Плотн. относит частот
|
|||
Абсолютн.
|
Относит.
|
Накопл абсол.
|
Накоплен относит.
|
|||
13.01-19.38 |
16.2 |
4 |
0.04 |
0 |
0 |
0.0063 |
19.38-25.75 |
22.57 |
8 |
0.08 |
4 |
0.04 |
0.0126 |
25.75-32.12 |
28.94 |
20 |
0.2 |
12 |
0.12 |
0.0314 |
32.12-38.49 |
35.31 |
26 |
0.26 |
32 |
0.32 |
0.0408 |
38.49-44.86 |
41.68 |
15 |
0.15 |
58 |
0.58 |
0.0235 |
44.86-51.23 |
48.05 |
15 |
0.15 |
73 |
0.73 |
0.0235 |
51.23-57.6 |
54.42 |
8 |
0.08 |
88 |
0.88 |
0.0126 |
57.6-63.97 |
60.8 |
4 |
0.04 |
96 |
0.96 |
0.0063 |
|
|
100 |
1 |
|
|
|
8. Построим полигон (ломаная линия) и гистограмму («столбики») распределения, затем – полигон накопленных частостей.
Для построения
гистограммы в EXCEL
используем Мастер диаграмм.
Вставка→Диаграмма→Нестандартные→График|Гистограмма→Далее→Шаг2:
Выбираем страничку Ряд
на ней нажимаем кнопку Добавить,
появляется название ряда (Ряд1), в строке
Имя
пишем Гистограмма
частот, в
строке
Значения указываем
адреса ячеек, где хранятся значения
относительных частот
,
в строке Подписи
оси Х указываем
адреса ячеек, где хранятся значения
середин интервалов
.
Для построения
полигона частот нажимаем на кнопку
Добавить,
появляется название ряда (Ряд2), в строке
Имя
пишем Полигон
частот, в
строке
Значения указываем
адреса ячеек, где хранятся значения
плотностей относительных частот
→Готово.
Чтобы удалить зазор между столбцами гистограммы встаем на область гистограммы и щелкаем на правую кнопку мыши, в появившемся контекстном меню выбираем Формат рядов данных→на страничке Параметры в поле Ширина зазора устанавливаем 0→Ок.
Полигон и гистограмма
распределения признака Х
Полигон накопленных частостей F*(X)
9. Начинаем заполнение расчетной таблицы для нахождения выборочных оценок:
Таблица 4
Расчет выборочных оценок признака Х
Середины инт.
|
Частота
|
Относительн. частота
|
|
|
|
|
|
16,2 |
4 |
0.04 |
0,648 |
-21,467 |
18,434 |
-395,724 |
8495,123 |
22,57 |
8 |
0.08 |
1,8056 |
-15,097 |
18,234 |
-275,288 |
4156,111 |
28,94 |
20 |
0.2 |
5,788 |
-8,7273 |
15,233 |
-132,944 |
1160,245 |
35,31 |
26 |
0.26 |
9,1806 |
-2,3573 |
1,4448 |
-3,40579 |
8,02847 |
41,68 |
15 |
0.15 |
6,252 |
4,0127 |
2,4153 |
9,691731 |
38,89001 |
48,05 |
15 |
0.15 |
7,2075 |
10,383 |
16,170 |
167,889 |
1743,141 |
54,42 |
8 |
0.08 |
4,3536 |
16,753 |
22,452 |
376,1356 |
6301,287 |
60,8 |
4 |
0.04 |
2,432 |
23,133 |
21,405 |
495,1525 |
11454,21 |
|
100 |
1 |
= 37,667 |
|
115,7885 |
= 241,5064 |
= 33357,04 |
10. Выборочные оценки для признака Х находим по данным таблицы 5 и формулам для сгруппированных данных:
= 37,667;
= 115,7885;
= 10,76;
= 0,19; = -0,51.
11. Исправленные оценки признака Х:
- выборочное среднее = = 37,67;
- исправленная дисперсия = 116,958;
- исправленное среднеквадратичное отклонение = 10,81;
-исправленная асимметрия = 1,015*0,19=0,193;
- исправленный эксцесс = -0,47.
Найдем моду и медиану по сгруппированным данным признака Х:
=26
– наибольшая частота, (32.12-38.49) – модальный
интервал,
=20;
=15;
тогда мода
=34,37.
Накопленная частота =32, не превосходящая половины выборки =100/2=50 ( ); (32.12-38.49) – медианный интервал; тогда медиана
=36,53.
Выводы:
а)
,
б) А* = 0,193 – больше нуля, значит полигон распределения скошен, правая ветвь длиннее левой, начиная от вершины: левосторонняя асимметрия. А* близко к нулю.
Е* = -0,47 – меньше нуля, гистограмма – плосковершинная (по сравнению с нормальным распределением).
г) Можно предположить, что выборка произведена из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение.
13. Проверим, взята ли данная выборка (для измеримого признака Х) из нормально распределенной генеральной совокупности.
( помним, что =37,67 и =10,81.)
14. Формулируем статистическую гипотезу Но: генеральная совокупность измеримого признака Х, из которой извлечена выборка, распределена по нормальному закону при данном уровне значимости =0,05, с плотностью
, где
а и - параметры нормального распределения.
а). Выпишем границы интервалов и абсолютные частоты для этих интервалов
-
Интервалы
α i-1 – α i
Середины интерв.
Абсолютн. Частота
13.01-19.38
16.2
4
19.38-25.75
22.57
8
25.75-32.12
28.94
20
32.12-38.49
35.31
26
38.49-44.86
41.68
15
44.86-51.23
48.05
15
51.23-57.6
54.42
8
57.6-63.97
60.8
4
Видим, что в первом
и последнем интервалах абсолютная
частота меньше пяти. Объединяем первые
два и последние два интервала, число
интервалов r
равно теперь 6, значит число степеней
свободы к =
r – 3 = 3 и
=
=7,8.
б). Заполняем расчетную таблицу:
Таблица 5
Проверка гипотезы Но по критерию Пирсона
Левая границинтерв.
|
Прав. гран. инт.
|
Абс. частота
|
Zi=
|
Ф(zi) |
|
|
|
13,01 |
25,75 |
12 |
-2,28 |
-0,4887 |
0,1244 |
13 |
0,01 |
25,75 |
32,12 |
20 |
-1,10 |
-0,3643 |
0,1693 |
17 |
0,56 |
32,12 |
38,49 |
26 |
-0,51 |
-0,1950 |
0,2269 |
23 |
0,48 |
38,49 |
44,86 |
15 |
-0,08 |
0,0319 |
0,2167 |
22 |
2,05 |
44,86 |
51,23 |
15 |
0,67 |
0,2486 |
0,1458 |
15 |
0,01 |
51,23 |
63,97 |
12 |
1,25 |
0,3944 |
0,1029 |
10 |
0,28 |
63,97 |
|
|
2,80 |
0,4973 |
|
|
|
|
|
100 |
|
|
1 |
100 |
=3,4 |
Получили, что =3,4 – меньше, чем =7,8, значит, гипотеза нормальности распределения принимается.
Варианты заданий
Вариант 1
71.6
89.0
73.7
92.0
88.2
73.1
80.6
81.2
74.6
66.2
80.5
79.3
80.9
72.5
76.5
85.9
78.4
79.9
73.1
73.4
67.2
78.3
80.2
75.2
82.9
81.9
64.7
75.4
75.8
77.3
75.9
65.8
74.4
71.8
75.5
85.5
69.3
71.1
78.2
75.4
82.7
77.7
89.4
77.4
78.8
80.1
70.4
76.4
85.5
75.3
86.6
72.7
83.1
83.0
86.2
80.9
82.3
78.1
90.4
85.9
90.5
68.7
74.6
88.9
80.2
81.8
73.9
72.5
75.6
78.9
77.1
69.5
85.4
72.6
73.6
85.0
81.6
85.8
84.4
80.8
80.4
65.7
73.4
78.6
84.1
70.5
74.3
79.0
72.0
80.9
95.6
86.2
74.8
71.5
73.5
72.1
78.9
78.6
82.6
80.6
Вариант 2
42.7
32.9
37.0
28.8
34.0
39.7
44.9
38.5
31.5
36.6
30.2
38.4
35.5
45.9
37.7
37.4
38.8
42.8
39.4
54.3
37.4
37.1
29.6
31.4
47.1
31.1
43.2
29.6
31.4
47.1
28.2
31.3
29.0
32.4
26.6
34.6
36.1
41.2
32.3
48.7
35.1
37.1
42.3
44.3
37.8
37.9
41.7
23.2
47.7
32.4
43.8
31.7
44.5
37.0
40.3
40.5
41.1
32.9
43.0
32.7
49.9
36.7
42.5
26.4
34.2
37.2
33.3
38.8
25.2
33.7
49.2
35.2
32.9
37.5
37.9
47.0
38.6
29.3
41.0
44.5
44.2
43.5
41.0
43.7
27.3
38.7
30.8
38.1
44.3
36.9
36.2
42.8
37.6
29.3
30.2
42.5
39.6
37.1
16.6
43.1
Вариант 3.
84.5
81.4
74.3
66.8
81.0
82.9
62.9
81.4
67.8
75.3
71.5
80.6
60.3
60.6
78.4
66.4
74.7
77.2
77.9
76.7
73.2
75.2
78.9
80.0
84.0
69.4
81.6
76.9
78.8
72.9
76.4
69.7
91.0
72.2
63.3
83.7
73.6
67.3
67.4
70.5
78.2
62.1
77.8
80.2
64.2
84.0
74.4
70.3
71.5
71.7
78.2
69.5
67.7
91.7
72.8
70.3
69.8
87.8
90.2
78.9
71.9
76.0
95.6
84.3
87.7
78.7
63.3
73.0
92.3
78.7
72.4
73.3
66.6
76.0
72.6
61.3
95.1
72.7
83.8
74.8
76.4
80.8
69.8
80.5
80.9
71.2
86.1
65.4
76.5
52.6
62.3
78.9
79.6
90.6
80.6
84.8
62.8
87.3
83.5
82.3
Вариант 4.
36.1
29.6
24.0
25.0
38.1
29.7
25.8
39.6
42.0
37.6
24.8
43.1
36.2
14.9
40.0
35.1
17.6
27.5
35.4
32.2
26.8
30.0
42.1
18.3
25.1
30.5
12.9
24.1
25.9
36.8
29.5
27.7
29.1
28.9
27.6
27.1
24.1
27.0
24.5
32.5
33.9
29.6
32.5
37.0
26.0
46.3
32.8
45.6
47.7
33.0
24.6
39.9
32.2
21.6
37.7
24.1
32.7
29.0
28.1
23.6
24.2
36.9
33.0
29.7
31.7
32.9
24.6
23.3
17.2
24.5
31.6
25.9
18.0
41.8
30.2
23.3
27.3
30.2
40.5
34.6
21.8
39.6
43.0
26.6
22.7
27.2
34.4
23.7
16.5
33.5
14.2
15.6
28.8
22.5
22.9
24.2
26.7
32.2
22.2
32.6
Вариант 5.
83.1
76.1
76.4
76.9
93.8
77.6
84.4
71.8
75.7
68.9
74.0
79.0
84.3
73.4
71.3
70.9
83.6
86.1
85.6
83.4
67.2
78.4
86.4
77.9
85.9
83.9
85.4
77.7
84.3
80.6
82.4
84.5
55.5
80.1
63.4
83.9
68.9
82.7
73.1
80.4
86.1
81.2
78.9
83.8
76.1
74.4
78.3
73.2
70.7
66.0
72.3
68.5
79.1
84.2
79.2
74.7
82.2
81.0
70.2
19.8
88.1
82.9
72.0
70.9
76.3
74.3
67.0
76.1
80.0
78.9
77.8
76.0
63.8
80.8
81.0
84.2
71.3
84.1
80.2
90.1
67.6
72.7
74.7
71.8
70.0
76.8
66.9
70.4
68.0
80.8
78.2
73.1
77.0
71.4
69.5
80.1
70.2
81.5
77.9
68.6
Вариант 6
48.9
53.8
59.0
49.5
60.6
58.8
45.0
56.0
59.9
52.3
42.0
59.3
50.3
50.5
44.4
49.7
52.8
59.4
56.4
41.4
59.4
70.1
54.7
41.0
62.6
49.1
38.9
47.6
49.3
50.7
57.3
58.5
53.9
40.4
45.1
52.2
49.0
61.1
52.2
58.0
46.6
60.5
57.8
68.2
46.8
49.2
45.5
46.5
50.7
51.7
56.0
61.8
58.4
63.1
49.2
45.2
52.3
41.2
55.3
67.8
56.2
39.9
66.5
58.1
65.3
63.7
55.5
51.9
50.1
53.8
58.7
60.2
64.6
51.7
61.7
27.2
55.5
59.9
51.8
51.3
49.4
58.9
43.2
53.1
65.3
49.4
58.7
52.5
47.1
46.1
44.3
58.2
46.7
57.4
62.3
44.3
38.8
59.0
56.0
55.0
Вариант 7
62.3
64.6
50.0
56.0
62.1
59.8
66.5
64.8
48.4
50.7
63.2
49.9
59.6
64.2
61.3
65.5
66.9
61.7
59.0
66.7
62.7
52.8
61.6
51.4
59.0
62.7
62.3
60.2
66.9
55.3
56.5
65.3
51.9
55.0
57.6
54.4
64.4
61.9
66.4
59.5
57.6
67.0
62.5
49.4
54.1
60.9
48.3
65.4
48.8
53.4
64.4
58.3
63.5
60.0
55.8
54.6
51.4
55.0
62.9
48.7
53.5
53.2
53.8
67.7
52.3
59.9
62.0
59.9
60.4
63.6
59.0
69.9
55.8
59.7
61.0
56.1
50.8
65.3
56.3
52.9
59.6
58.5
46.6
55.5
59.2
65.7
66.7
61.5
57.6
51.1
56.6
59.3
50.9
55.2
51.6
57.9
55.6
45.2
58.8
48.0
Вариант 8
75.2
77.1
71.0
74.4
77.5
74.5
73.8
73.6
74.0
79.0
78.7
79.1
75.6
73.8
80.6
75.7
69.6
76.3
76.4
82.5
69.3
72.8
83.3
76.0
75.2
75.4
76.3
73.5
80.6
70.9
75.9
70.0
73.1
80.5
75.3
77.0
87.0
72.2
69.6
73.1
63.9
82.6
75.7
75.8
85.0
74.5
80.5
79.1
74.0
77.5
75.1
69.8
75.6
71.1
78.3
81.4
72.0
76.7
77.8
77.7
71.3
76.0
76.1
74.6
78.0
76.8
75.1
77.1
78.8
68.5
74.4
77.3
76.0
71.5
72.0
75.3
71.9
78.1
74.9
80.4
72.9
64.5
73.4
76.8
74.5
46.7
78.2
67.8
76.7
74.3
64.1
82.1
65.5
69.4
73.4
74.6
70.4
77.1
70.8
75.3
Вариант 9
61.4
52.9
67.0
55.0
49.3
52.7
68.0
74.7
56.4
61.5
33.7
59.5
62.2
67.6
54.6
69.7
43.7
49.7
55.8
47.6
52.9
45.7
54.5
36.4
74.0
50.3
51.4
63.2
62.6
57.2
29.7
45.6
72.0
53.9
50.1
62.0
60.2
56.9
47.3
61.1
75.9
49.9
80.8
75.2
51.1
69.2
51.5
54.2
46.8
64.3
54.6
75.6
65.8
61.6
56.6
46.3
48.1
63.9
77.8
63.9
41.0
62.8
40.3
44.5
54.1
54.3
35.8
42.9
65.2
71.7
75.3
58.1
60.5
68.1
49.4
31.8
55.7
39.1
57.6
59.6
55.3
71.5
78.6
50.4
67.1
65.1
75.2
47.4
76.4
72.1
43.2
59.3
48.6
48.2
51.5
58.3
68.6
69.7
55.4
78.4
Вариант 10
59.7
13.5
17.0
45.3
46.0
45.0
49.3
31.7
46.3
36.4
43.2
35.5
36.5
22.5
34.6
46.3
30.4
19.8
52.7
40.9
44.7
32.5
29.1
31.7
28.9
37.2
33.9
34.4
37.8
34.7
50.6
60.8
46.9
26.0
28.7
55.5
44.3
55.5
21.6
17.9
45.7
33.7
48.5
39.3
56.9
45.2
21.5
35.0
37.8
51.7
36.7
45.3
36.8
49.5
39.8
46.7
50.0
19.0
41.6
29.0
44.3
43.7
27.0
36.7
19.2
27.4
37.4
38.5
43.5
41.7
39.4
44.1
31.8
43.8
44.5
50.2
21.0
26.7
37.7
32.3
50.9
37.3
14.7
47.8
37.6
39.2
47.7
42.0
41.0
13.2
21.3
31.1
28.8
31.5
58.3
49.9
39.9
47.4
21.2
32.9
Задание 2
По данным таблицы подобрать формулу
вида: а) у= 
;
б) у = 
.
Методом наименьших квадратов
Вариант1.
X |
0,20 |
0,40 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0.90 |
1,00 |
1,10 |
1,20 |
1,30 |
У |
1.40 |
1,56 |
1,74 |
1,92 |
2,04 |
2,18 |
2,32 |
2,34 |
2,42 |
2,54 |
Вариант 2
х |
0,45 |
0,63 |
0,77 |
0,84 |
0,95 |
1,00 |
1,05 |
1,09 |
1,14 |
1,23 |
У |
1,40 |
1,56 |
1,74 |
2,04 |
2,18 |
2,32 |
2,34 |
2.42 |
2,54 |
2,70 |
Вариант 3
X |
0,100 |
1,20 |
1,36 |
1,50 |
1,61 |
1,75 |
1.82 |
1,91 |
2 |
2,08 |
У |
0,40 |
0,50 |
0,90 |
1,28 |
1,60 |
1,66 |
2,02 |
2.41 |
2,61 |
2,82 |
Вариант 4
X |
0,55 |
0,80 |
1,05 |
1.30 |
1.55 |
1,80 |
2,05 |
2,30 |
2,55 |
2,80 |
У |
1,25 |
1,50 |
2,26 |
3,01 |
3,45 |
4,11 |
4,58 |
5,01 |
5,61 |
6,00 |
Вариант 5
X |
0.45 |
0,70 |
0,95 |
1,20 |
1,45 |
1,70 |
1,95 |
2,20 |
2,45 |
2,70 |
У |
0,70 |
0,80 |
1,20 |
1,58 |
1,90 |
1,96 |
2,32 |
2,70 |
2,91 |
3,12 |
Вариант 6
X |
0,30 |
0,50 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
1,10 |
1,20 |
1,30 |
1.40 |
У |
1,60 |
1,76 |
1,94 |
2,12 |
2,24 |
2,38 |
2,52 |
2,54 |
2,62 |
2,74 |
Вариант 7
X |
0 |
1,35 |
1,55 |
1,75 |
1,95 |
2,15 |
2,35 |
2,55 |
2,75 |
2,95 |
У |
0,25 |
1,16 |
1,45 |
1.73 |
2,18 |
2.57 |
3,00 |
3,45 |
4,06 |
4,60 |
Вариант 8
X |
0 |
0,5 |
0,75 |
1 |
1,25 |
1,50 |
1,75 |
2,00 |
2,25 |
2,50 |
У |
0,3 |
0,44 |
0,55 |
0,82 |
1,30 |
1.40 |
1,83 |
2,35 |
2,80 |
3,45 |
Вариант 9
X |
0 |
1 |
1,82 |
2,40 |
3,06 |
3.80 |
4,60 |
5,52 |
6,50 |
7,56 |
У |
0,25 |
0,75 |
1.16 |
1,45 |
1.73 |
2,18 |
2,57 |
3,00 |
3,45 |
4,06 |
Вариант 10
X |
0,90 |
1,10 |
1,26 |
1,40 |
1,51 |
1,65 |
1.72 |
1,81 |
1.90 |
1,98 |
У |
1,55 |
1,80 |
2,56 |
3,31 |
3,75 |
4,41 |
4,88 |
5,31 |
5,91 |
6,3 |