Ход работы

1. Перед вами (в вашем варианте) сто чисел (Х) – статистический ряд объёма n =100. Упорядочите его по возрастанию. Данные запишите в таблицу и дайте ей номер1.

Для этого воспользуйтесь, например, Microsoft Excel: введите, например, в столбец А1-А100 все значения переменной Х, а в столбец В1-В100 – все значения переменной У. Скопируйте эти два столбца значений в любые соседние столбцы. Далее нам пригодятся и упорядоченные данные – для нахождения максимального и минимального значений, и исходные - для построения корреляционного поля и корреляционной таблицы. Теперь выберите встроенную функцию сортировки по возрастанию в верхнем меню, примените ее по очереди к первым двум столбцам (выделив их и нажав на кнопку сортировки). Сохраните результат (или распечатайте на принтере).

2. Запишите минимальное и максимальное значения совокупности Х (статистического ряда): .

3. Найдите размах варьирования измеримого признака:

.

4. Выберите число интервалов равным 7: r =7.

Замечание: Напомним, что число интервалов может быть выбрано произвольно. Выбор r зависит от объёма n, размаха R и от цели статистического исследования. Принято, чтобы получилось не менее 6 и не более 20 интервалов.

5. Определите, чему равен шаг варьирования признака (длина интервала будущего вариационного ряда Х).

.

6. Теперь найдем границы интервалов признака Х таким образом, чтобы минимальное значение стало серединой первого интервала, а максимальное – серединой последнего. Для этого отступим от на полшага, а к правому концу каждого интервала будем прибавлять длину шага:

, , , , ; ; ; ; .

Таким образом, фактическое число интервалов равно 8.

(Убедитесь в правильности своих подсчетов: значение должно быть больше максимального значения на полшага.)

7. Найдем середины получившихся интервалов:

, , , , , , , .

О верности подсчетов свидетельствует равенство (возможно приближенное) последних, восьмых, значений .

8. Составьте вариационный ряд измеримого признака Х .

Таблица 1

х

Здесь - число значений , попавших в соответствующий интервал .

(Проверьте: сумма абсолютных частот , где n – объём выборки.)

9. Заполните таблицу «Статистическая совокупность» :

(с помощью пунктов 6, 7 и 8 заполняем первые три столбца таблицы; данные в остальные столбцы вписываем после подсчета соответствующей формулы, записанной в ячейке таблицы)

Таблица 2

Статистическая совокупность измеримого признака х

Интер-валы	Серед. интерв.	Частоты				Плот-ность относит. частот
		Абсолют-ная	Относитель-ная	Накоплен. абсолютн.	Накоплен. относит.
			/ 100	=0	=0
			/ 100	=	=
…	…	…	…	…	…	…
			/ 100	=100-	=1-
		100	1	100	1

10. По данным таблицы 2, постройте (см. пример):

а) полигон и гистограмму распределения – графические оценки плотности распределения вероятностей генеральной совокупности;

б) полигон накопленных частостей – график эмпирической функции распределения:

.

11. Запишите расчетные формулы для сгруппированных в r интервалов данных:

выборочного среднего ;

выборочной дисперсии ;

выборочного среднеквадратичного отклонения ;

выборочной асимметрии ;

выборочного эксцесса .

12. Заполните расчетную таблицу, взяв данные для первых трех столбцов из таблицы 2:

Удобно воспользоваться для этого таблицей EXCEL: скопируйте первые три столбца из таблицы 2 на «новое» место таблицы EXCEL, оформите заголовки колонок.

Таблица 3

Расчет выборочных оценок признака Х

Серед инт.	Частота	Относит. частота
…	…	…	…	…	…	…	…
	n	1

Для заполнения четвертого столбца, введите в первой строке четвертого столбца формулу содержимого этой колонки: произведение соответствующих ячеек первого и третьего столбцов нашей новой таблицы. Например, новая таблица располагается в ячейках А:101- H:101 (заголовок) и в нижележащих строках этих столбцов, тогда содержимое ячейки D:102 равно (А:102)*(С:102). Записывают расчетную формулу, «встав» в ячейку D:102 или в командной строке верхнего меню « »:

начиная со знака “=”, например: “=(A:102)*(С:102)”, нажимают ввод – в ячейке высветится результат. Скопировав первую строку D:102 в нижележащие строки этого столбца, автоматически заполним весь столбец.

Теперь находим сумму элементов этого столбца - среднее (ячейка D:110) - выделяем содержимое столбца и нажимаем мышью на значок автосуммы верхнего меню.

Заполняем оставшиеся колонки, вписывая необходимые формулы сначала в первые строки колонок, затем копируя в низлежащие. Например, в ячейке E:102 формула будет следующей: “=(A:102)-(D:110)”, в ячейке F:102 формула будет следующей: “=((E:102)^2)*(C:102)”, в ячейке G:102 формула будет следующей: “=((E:102)^3)*(C:102)”, в ячейке H:102 формула будет следующей: “=((E:102)^4)*(C:102)”. Просуммировав элементы соответствующих колонок (выделяем содержимое столбца и нажимаем мышью на значок автосуммы верхнего меню), находим ; ; .

13. По формулам (пункт 11) и по данным таблицы 3 (пункт 12), найдите выборочные оценки: выборочного среднего, выборочной дисперсии, выборочной асимметрии, выборочного эксцесса.

14. Найдите исправленные оценки (статистики) генеральных параметров:

- выборочное среднее = ; - исправленная дисперсия ;

- исправленное среднеквадратичное отклонение ;

-исправленная асимметрия ;

- исправленный эксцесс .

15. Найти моду и медиану по сгруппированным данным:

, где

- середина интервала (модального) с наибольшей частотой ;

- нижняя граница модального интервала (левый конец отрезка, на котором самое большое значение частоты ); h – длина интервала (см. пункт 5);

, где

- середина интервала (медианного), содержащего накопленную частоту , не превосходящую половины выборки ( );

- нижняя граница медианного интервала;

и - частота и накопленная частота соответственно этого интервала.

16. Для проверки гипотезы Но: генеральная совокупность измеримого признака, из которой извлечена выборка, распределена при данном уровне значимости =0,05 по нормальному закону с плотностью

, где

а и - параметры нормального распределения, необходимо:

- объединить интервалы (смотри пример) с абсолютными частотами , меньшими 5 , суммируя частоты;

- отметить, чему равно теперь r – число интервалов;

- записать число к - степеней свободы и по таблицам выписать ;

- заполнить расчетную таблицу для вычисления :

Таблица 4

Проверка гипотезы Но по критерию Пирсона

Левая граница интерв.	Правая гран. нтер.	Абс. Частота	Zi= =	Ф(Zi)
…	…	…	…	…	…	…	…
		100			1	100

где Ф(zi) – значение функции Лапласа для значений zi, записанных в предыдущем столбце,

= Ф - теоретическая вероятность попадания случайной величины Х, распределенной нормально, в интервал - (значение функции Лапласа можно найти по таблице приложения 2 ( см. [3] или [5]) или с помощью встроенной функции НОРМСТРАСП(z)).

Воспользуемся таблицей EXSEL для упрощения вычислений. Скопируйте первые три столбца табл. 3 на «новое» место таблицы EXCEL, оформите заголовки колонок.

Выполните «вручную» работу по объединению интервалов, для которых абсолютная частота , меньше 5: запишите в таблицу границы вновь полученных интервалов, их середины и новое значение абсолютной частоты, равной сумме абсолютных частот объединенных интервалов.

Подсчитайте количество полученных после объединения интервалов, найдите число степеней свободы к и (например, смотри приложение 5 [3, стр. 390]).

Для дальнейших вычислений удобно левую и правую границы интервалов оформить в отдельные столбцы, чтобы «обращаться» к номеру ячейки – левого (а для последнего интервала – и правого) конца интервала.

Приступим к заполнению четвертого столбца: запишите в первой строке этого столбца после знака ''='', формулу вычисления Zi= с помощью номеров ячеек, в которых содержатся , и .

Например, новая таблица располагается в ячейках А:101- H:101 (заголовок) и в нижележащих строках этих столбцов, тогда содержимое ячейки D:102 равно ((А:102)-37,67)/10,81 [взяты значения =37,67 и =10,81]. Записывают расчетную формулу, «встав» в ячейку D:102 или в командной строке верхнего меню « », начиная со знака “=”, например: “=((А:102)-37,67)/10,81 ”, нажимают ввод – в ячейке высветится результат. (Отметим, что кавычки при написании формулы на компьютере ставить не надо.) Скопировав первую строку D:102 в нижележащие строки этого столбца, автоматически заполним весь столбец. Добавим еще одно значение Zi , вычислив его для правого конца самого последнего интервала, взяв его значение в соответствующей ячейке. Таким образом, строк в четвертом столбце станет на одну больше, чем в первых трех столбцах.

Следующий, пятый, столбец заполним с помощью встроенной функции НОРМСТРАСП(z), или «вручную», взяв значения функции Лапласа Ф(Zi) в соответствующей таблице, например, в учебных картах [5] или учебнике [3, стр. 390, приложение 2].

Теоретическую вероятность (следующий, шестой, столбец) находим, «забивая» соответствующую формулу с указанием ячеек: например, в ячейке F:102 формула будет следующей: “=(E:103)-(Е:102)”; проследите за правильным заполнением остальных строк этого столбца. Отметим, что строк в этом столбце станет на одну меньше (первоначальное число строк).

Не будем описывать, как заполняются последние два столбца – это делается аналогично, с помощью введения в ячейки соответствующих формул; надеемся на то, что при выполнении первых двух работ вы освоили эти действия.

Заметим, что приближенные значения теоретических частот (предпоследний столбец) можно заменить целыми значениями, «округляя» их с тем расчетом, чтобы сумма всех теоретических частот этого столбца была равна объему выборки п = 100.

После того, как получен последний столбец, суммируем его содержимое, получая, таким образом, значение .