6. Методические указания к решению и оформлению контрольной работы

6.1. Общие сведения

Один из методов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость- это критерий устойчивости Рауса. Наряду с критерием Гурвица, критерий Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста-Михайлова. К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ, а также простота анализа для систем небольшого (до 3) порядка. К недостаткам можно отнести ненаглядность метода, по нему сложно судить о степени устойчивости, о её запасах.

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть — передаточная функция системы, а — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином в виде

.

Критерий Рауса представляет собой алгоритм, по которому составляется специальная таблица, где записываются коэффициенты характеристического полинома:

1. в первой строке записываются коэффициенты уравнения с чётными индексами в порядке их возрастания;

2. во второй строке — с нечётными;

3. остальные элементы таблицы определяется по формуле: , где — номер строки, — номер столбца;

4. число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.

Таблица 5

Таблица Рауса

		1	2	3	4
-	1				..
-	2				..
	3				...
	4				...
...	..	...	...	...	..

Формулировка критерия Рауса:

Для устойчивости линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительными. Если это не выполняется, то система неустойчива.

Критерий устойчивости Гурвица — один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость. Наряду с критерием Рауса, критерий Гурвица является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста. К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ, а к недостаткам — малая наглядность.

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть — передаточная функция системы, а — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином в виде

.

Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от до ;

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставятся нули.

Тогда согласно критерию Гурвица:

Для того чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.