Задача 1.3

Предприятие открывает новую линию по пошиву джинсовой одежды. Предполагается шить джинсовые брюки, рубашки, юбки, жилетки и кепки. В неделю на предприятие поступает определенное количество ткани, застежек-молний, пуговиц и декоративных деталей, которые расходуются на пошив изделий в следующем количестве:

	Брюки	Рубашки	Юбки	Жилетки	Кепки	Ресурс на неделю
Ткань (кв. м)	2,5	2	1,5	1,5	0,5	1800
Молнии (шт.)	1	0	1	2	0	800
Пуговицы (шт.)	1	7	2	5	2	1500
Декор (шт.)	6	4	6	0	2	4000

Раскрой каждого изделия занимает 0,3 человеко-часа, пошив - 0,5 человеко-часов. Всего на раскрой может быть затрачено 500 человеко-часов в неделю, на пошив - 700 человеко-часов.

Готовые изделия могут быть проданы по следующим ценам: брюки - по 700 рублей, рубашки - по 500 рублей, юбки и жилетки - по 400 рублей, кепки - по 200 рублей.

Какую максимальную прибыль за неделю может получить предприятие?

Задача 1.4

Фирма заключила контракт на поставку Университету 50 компьютеров 1-й базовой комплектации, 200 компьютеров 2-й комплектации и 100 - 3-й. Фирма собирает компьютеры из комплектующих и устанавливает на них программное обеспечение. Затраты труда и фонд рабочего времени отражаются в таблице:

Операция	Затраты труда на один компьютер (чел-ч) по видам комплектации			Фонд рабочего времени (чел-ч)
	1-й вид	2-й вид	3-й вид
Сборка	0,8	0,5	0,5	150
Установка программ	1,5	1,2	1,0	400

Себестоимость каждого компьютера составляет $1000, $800 и $650 соответственно.

Однако после подписания столь выгодного контракта руководство фирмы пришло к выводу, что фирма не в состоянии выполнить его условия своими силами. Фирма обратилась к конкуренту-предпринимателю с предложением купить часть готовых к работе компьютеров у него. Предприниматель дал свое согласие, установив цену за один компьютер 1-й комплектации - $1200, 2-й - $900 и 3-й - $700.

Как фирме выполнить условия контракта с наименьшими затратами?

Оптимальное смешение

Общая постановка задачи:

Найти наилучший с точки зрения минимизации затрат или максимизации прибыли способ смешения исходных ингредиентов для получения смеси с заданными свойствами.

Однопродуктовая модель:

(6)

где: n - количество исходных ингредиентов;

m - количество компонент в смеси;

a_ij - доля i-й компоненты в j-м ингредиенте;

b_i - минимально допустимое количество i-й компоненты в смеси;

c_j - стоимость единицы j-го ингредиента;

x_j - количество j-го ингредиента, входящего в смесь.

Многопродуктовая модель:

(7)

где: n - количество исходных ингредиентов;

m - количество компонент в смеси;

s - количество смесей;

w - количество условий на содержание ингредиентов в смесях;

x_kj - количество j-го ингредиента, входящего в смесь k;

a_ij - доля i-й компоненты в j-м ингредиенте;

b_ik - минимально допустимая доля i-й компоненты в смеси;

c_j - стоимость единицы j-го ингредиента;

d_rkj - коэффициент, отражающий r-е условие на содержание j-го ингредиента в k-й смеси;

p_k - стоимость единицы k-й смеси.

Пример решения задачи:

В состав рациона кормления животных входят сено, силос и концентраты. Содержание питательных веществ и минимально необходимые нормы их потребления приведены в таблице:

	Белок, г/кг	Кальций, г/кг	Витамины, у.е./кг	Цена за 1 кг, р.
Сено	40	5	2	300
Силос	20	4	1	200
Концентраты	160	4	2	500
Нормы потребления	2000	120	40

Определить рацион, стоимость которого была бы минимальной, если предельные нормы суточной выдачи сена - не более 18 кг, силоса - 24 кг, концентратов - 16 кг.

Решение: обозначим за x₁ количество сена, за x₂ - количество силоса, за x₃ - количество концентратов в оптимальном рационе. Тогда:

(8)

Подготовим в Microsoft Excel таблицу для решения задачи:

Рис. 12

Поскольку Microsoft Excel позволяет путем установки соответствующего флажка автоматически определять неотрицательность переменных, добавление ограничений на неотрицательность в модель при решении задачи в Microsoft Excel не является обязательным.

Введем в таблицу формулы для расчета левых частей ограничений и целевой ячейки:

Рис. 13

Ограничения в этом примере записываются так:

Рис. 14

Запустим модуль Поиск решения и произведем расчеты в том же порядке, что и в предыдущем примере.

Рис. 15

Решение задачи в системе Mathcad будет выглядеть так:

Рис. 16

В данном случае необходимо использовать функцию Minimize, поскольку при решении задачи необходимо определить минимальную стоимость рациона.

В ходе расчетов получим следующие результаты: оптимальный суточный рацион должен содержать 20 кг силоса и 10 кг концентратов. При этом стоимость рациона будет составлять 9000 руб.

Задачи

Задача 2.1

Группа спортсменов по рекомендации врача принимает пищевые добавки. Существует три вида добавок, удовлетворяющих всем требованиям - А, В и С, цена за упаковку которых составляет соответственно 500, 600 и 700 рублей.

В этих пищевых добавках содержатся питательные вещества и витамины пяти видов (I, II, III, IV, V), нормы потребления и содержание в добавках которых приведены в таблице (в ед.):

	А	В	С	Норма потребления
I	5	0	2	19
II	3	3	3	15
III	2	4	0	6
IV	2	7	5	16
V	0	1	5	10

Нормы потребления необходимо соблюдать точно.

Требуется выполнить рекомендации врача с минимальными затратами.