6. Порядок выполнения экспериментальных исследований

6.1. Провести анализ влияния величины шага на точность интегрирования методами Рунге-Кутты второго и четвёртого порядков.

Для этого необходимо, варьируя значение величины шага в некотором диапазоне, вычислить оценки (21) ошибок интегрирования заданного варианта дифференциального уравнения на заданном отрезке интегрирования для обоих методов Рунге-Кутты. Диапазон изменения шага следует выбрать таким, чтобы при наименьшем его значении проявилось бы влияние ошибки вычислений, а при наибольшем – нарушалась бы устойчивость алгоритма [2],[4].

Полученные зависимости необходимо оформить в виде графиков. Графики для обоих методов следует привести на одном рисунке.

6.2. Проверить гипотезу Рунге.

Согласно гипотезе [4], [5] глобальная ошибка алгоритма при интегрировании дифференциального уравнения с постоянным шагом пропорциональна величине шага в степени, равной порядку метода.

Для проверки гипотезы необходимо для обоих методов в диапазоне изменения шага, выбранном в п.п. 6.1 настоящего раздела, вычислить отношения

величины оценки ошибки (21) к величине шага интегрирования в степени, равной порядку метода.

Полученные зависимости необходимо оформить в виде графиков. Графики для обоих методов следует привести на одном рисунке.

6.3. Исследовать поведение ошибки интегрирования как функции независимой переменной для обоих методов Рунге-Кутты при различных значениях шага.

Для этого необходимо для дифференциального уравнения на отрезке интегрирования, определённых вариантом задания, вычислить точное решение и для обоих методов приближённые решения и величины ошибок интегрирования (19). Для каждого метода следует вычислить по три приближённых решения и по три оценки интегрирования при различных значениях шага. Значения шага следует выбрать соответственно в начале, середине и конце диапазона, определенного в подразделе 6.1.

Полученные зависимости необходимо оформить в виде графиков. Для удобства сравнения графики точного и всех приближённых решений следует привести на одном рисунке, а все графики ошибок интегрирования (19) – на другом.

6.4. Провести сравнительный анализ эффективности методов Рунге-Кутты при различных требованиях к точности вычислений.

Для этого необходимо для обоих методов оценить затраты машинного времени на интегрирование дифференциального уравнения, определенного вариантом задания, в зависимости от величины ошибки интегрирования (21).

При интегрировании уравнения (4) основное время занимает вычисление правой части. Поэтому в качестве оценки затрат машинного времени естественно принять количество вычислений правых частей уравнений (17) на всём отрезке интегрирования. Эту величину легко определить, умножив количество шагов интегрирования N на порядок метода m .

Зависимость оценки ошибки интегрирования (21) от величины шага (а, следовательно, от количества шагов N) определена при выполнении п.п.6.1. На основе этих данных для обоих методов необходимо построить графики зависимостей величины ошибки интегрирования (21) от количества вычислений правой части системы (17). Графики для обоих методов следует привести на одном рисунке.