4. Методы рунге-кутты

В методах Рунге-Кутты интеграл в (6) заменяется линейной комбинацией значений подынтегральной функции f(x(t),t), вычисленных при разных значениях аргументов, причём аргументы зависят от решения x_a только в предыдущем узле интегрирования [1], [2]. Если на каждом шаге интегрирования для вычисления линейной комбинации требуется m вычислений подынтегральной функции, порядок метода Рунге-Кутты равен m. Поскольку для вычисления решения x_a(t_k) требуется знание решения только в предыдущем узле, методы Рунге-Кутты являются одношаговыми (или самостартующими).

Наибольшее распространение в инженерной практике получил метод Рунге-Кутты четвёртого порядка (m=4), описываемый следующими формулами:

x_a(t_k)=x_a(t_k–1)+h/6 (F₁+2F₂+2F₃+F₄), (12)

где

F₁=f(x_a(t_k–1),t_k–1),

F₂=f(x_a(t_k–1)+h/2F₁,t_k–1+h/2),

F₃=f(x_a(t_k–1)+h/2F₂,t_k–1+h/2), (13)

F₄=f(x_a(t_k–1)+hF₃,t_k-1+h).

Векторы F_i , i=1,2,3,4 – суть значения вектор- функции правых частей f(x(t),t), вычисленыe при разных значениях аргументов. Зависимость каждого вектора

F_i , i=2,3,4 от предыдущего обусловливает необходимость последовательного их вычисления в порядке нумерации.

Методы Рунге-Кутты второго порядка (m=2) на каждом шаге требуют лишь двух вычислений правой части уравнения (4), т.е. в два раза меньше, чем

метод (12),(13). Однако допускаемая на каждом шаге локальная ошибка алгоритма (7), в отличие от h⁵ для m=4, пропорциональна величине h³ . Следовательно, для достижения одинаковой точности интегрирования, методы второго порядка требуют меньшего значения шага, а, значит, большего числа шагов. Кроме того, эти методы накладывают более жёсткие ограничения на интервал допустимых значений шага интегрирования, при которых достигается устойчивость вычислительного алгоритма [1], [2], [4]. Варианты описания метода Рунге-Кутты второго порядка приведены в табл.4.1.

Табл.4.1 – Варианты метода Рунге-Кутты второго порядка

№ варианта	Формулы метода
1	x(tk)=x(tk–1)+hF2 , F1=f(x(tk–1),tk–1), F2=f(x(tk–1)+h/2F1,tk–1+h/2).
2	x(tk)=x(tk–1)+h/2(F1+F2), F1=f(x(tk–1),tk–1), F2=f(x(tk–1)+hF1,tk–1+h)
3	x(tk)=x(tk–1)+h/4(F1+3F2), F1=f(x(tk–1),tk–1), F2=f(x(tk–1)+2h/3F1,tk–1+2h/3)

5. Объект исследования

В настоящей работе методы Рунге-Кутты применяются к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка вида

y"(t)={y(t), y'(t), t}. (14)

Здесь и далее одним и двумя штрихами обозначены первая и вторая производные по t соответственно. Требуется найти на отрезке t₀tt_f решение y(t) уравнения (14), удовлетворяющее заданным в t₀ начальным условиям:

y(t₀)=y₀, y'(t₀)=y'₀. (15)

Для применения методов Рунге-Кутты уравнение (14) необходимо представить в нормальной форме Коши. Для уравнения (14) это можно сделать, введя следующие переменные:

x₁(t)=y(t), x₂(t)=y'(t). (16)

Подставив эти переменные в (14),(15) и проведя преобразования, приходим к системе из двух дифференциальных уравнений первого порядка, разрешённых относительно производных, вида:

x'₁(t)=x₂(t),

x'₂(t)={x₁(t), x₂(t), t} (17)

с начальными условиями

x₁(t₀)=y₀, x₂(t₀)=y'₀. (18)

Система (17),(18), по определению, является записью уравнения (14),(15) в нормальной форме Коши. При этом функция x₁(t), удовлетворяющая системе (17), (18) , является искомым решением исходного уравнения (14).

Варианты уравнения (14) приведены в таблице раздела «Приложение А» настоящих указаний. Номер варианта уравнения задаётся преподавателем.

В таблице для каждого варианта уравнения (14) заданы границы отрезка интегрирования и начальные условия (15). Кроме того, для каждого варианта задания приведено в виде формулы точное решение уравнения при заданных начальных условиях. В инженерной практике применение численного метода для интегрирования дифференциального уравнения уже подразумевает, что точное решение неизвестно. В курсовой работе это даёт возможность вычислить значение полной ошибки (10) интегрирования уравнения (14) по формуле

E_п(t_k)=x (t_k) –x_в (t_k) (19)

в любом узле интегрирования для обоих методов Рунге-Кутты. Здесь x и x_в- точное и приближённое решения уравнения (14) соответственно. Значения узлов на заданном отрезке вычисляются рекуррентно в процессе интегрирования по формуле

t_k=t_k–1+h, k=1,2,…,N. (20)

Заметим, что при интегрировании с постоянным шагом h формула (20) даст точное значение заданной правой границы отрезка t_N=t_f лишь при выборе величины шага кратной длине отрезка.

Оценку ошибки интегрирования на заданном отрезке для обоих методов Рунге-Кутты определим формулой

e = E_п(t_k). (21)

Формула (21) приближённо оценивает норму разности между точным и приближённым решениями уравнения (14) как максимум абсолютной величины полной ошибки на отрезке интегрирования.