Тема 3 Динамічне програмування

Задача 3.1 Про розподіл капіталовкладень між чотирма підприємствами

Постановка задачі. Знайти оптимальний план розподілу капіталовкладень S= 25 г.о. між чотирма підприємствами, якщо приріст випуску продукції для i- го підприємства, r_i(x), і=1,…,4, залежно від обсягу капіталовкладень, x, відомий і заданий у таблиці 1, де n₁ –перша, а n₂ –друга цифри номера студента у журналі групи, [n₂/5] – ціла частина числа n₂/5.

Таблиця 5 – Обсяг капіталовкладень і приріст випуску продукції для підприємств

Обсяг кап. вкладень X	r1(x)	r2(x)	r3(x)	r4(x)
5	18+n1	20+[n2/5]	16+[n2/4]	20+[n2/5]
10	20+n1	21+[n2/2]	27+[n2/5]	23+n1
15	27+n1	31+[n2/3]	34+[n2/3]	26+n1
20	31+n1	37+[n2/3]	40+[n2/4]	31+[n2/3]
25	40+n1	40+[n2/2]	41+[n2/2]	40-n1

3.2 Задача про заміну устаткування без урахування залишкової вартості устаткування

Постановка задачі. Нехай r(t) – вартість продукції, виробленої за рік на одиниці устаткування, вік котрого t років; L(t) – щорічні витрати на обслуговування цього устаткування; S(t)=0 – залишкова вартість устаткування; Р – вартість нового обладнання. Уведемо функцію φ(t)=R(t)-L(t) – різниця між вартістю виготовленої продукції та експлуатаційних витрат. Значення функції φ(t) за роками наведені у таблиці 6. Нехай Р=10+[n₂/2] , де n₂ – друга цифраномера студента у журналі групи, [n₂/2] – ціла частина числа n₂/2.

Таблиця 6 – Значення функціі φ(t) за роками

t	0	1	2	3	4	5	6
φ(t)	13	12	11	10	9	8	7

Визначити оптимальний цикл заміни устаткування за період часу тривалістю шість років, причому за ці роки прибуток f₆(t) повинен бути максимальний.

Література: [6, с. 203– 248; 9, с. 15– 25].

3 Типові розв΄язання завдань

Завдання 1.1 Задача про розподіл ресурсів

Підприємство може виготовляти чотири види продукції П-1, П-2, П-3, П-4. Збут будь-якого її обсягу забезпечений. Норми витрати ресурсів і прибуток від одиниці кожного виду продукції надані в таблиці 7. Виконати економічний аналіз лінійної моделі:

побудувати модель вихідної та двоїстої задач, знайти оптимальні плани x⁰ і y⁰;

дати економічне тлумачення основних і додаткових змінних вихідної та двоїстої задач;

проаналізувати доцільне розширення асортименту продукції за рахунок включення нової продукції П₅;

установити діапазони зміни вихідних даних за ресурсами і ціною од. продукції, за яких структура оптимального плану не змінюється.

Таблиця 7– Дані задачі розподілу ресурсів

Обсяг ресурсів: трудових, матеріальних, верстатних	Норми витрат ресурсів на од. продукції					Нова продукція
	П-1	П-2	П-3	П-4	П-5
3000	3	4	4	5	5
5000	2	0	3	4	6
8000	10	12	10	8	9
Ціна од. продукції	46	12	10	8	50

Розв’язок

1.Складемо математичні моделі вихідної та двоїстої задач, позначивши через план випуску j-го виду продукції, а через вартість одиниці i-го ресурсу. Тоді за формулами [2;3;5] математичні моделі вихідної та двоїстої задач мають вигляд:

вихідна задача двоїста задача

max=46X₁+12X₂+10X₃+8X₄ min f =3000У₁+5000У₂+8000У₃

3X₁+4X₂+4X₃+5X₄≤3000 3У₁+2У₂+10У₃≥46

2X₁+3X₃+4X₄≤5000 4У₁+12У₃≥12

10X₁+12X₂+10X₃+8X₄≤8000 4У₁+3У₂+10У₃≥10

5У₁+4У₂+8У₃≥8

X_j0 Y_i0

Для рішення симплекс-методом перейдемо в обмеженнях до рівностей шляхом уведення додаткових змінних

вихідна задача двоїста задача

max=46X₁+12X₂+10X₃+8X₄+0(X₅+X₆+X₇) min f =3000У₁+5000У₂+8000У₃

3X₁+4X₂+4X₃+5X₄+X₅ =4000 3У₁+2У₂+10У₃-У4 =46

2X₁+3X₃+4X₄+X₆ =5000 4У₁+12У₃ -У5 =12

10X₁+12X₂+10X₃+8X₄+X₇=8000 4У₁+3У₂+10У₃-У6 =10

5У₁+4У₂+8У₃-У7 =8

X_j0 Y_i0

У вихідній задачі 7 змінних і 3 обмеження, причому додаткові змінні є базисними. Тому цю задачу відразу можна розв´язувати симплекс-методом. У двоїстій задачі 7 змінних і 4 обмеження, причому для розв´язування симплекс-методом треба вводити штучний базис, а це ще плюс 4 змінні. Тому вихідну задачу розв´язувати простіше. Запишемо її дані в симплекс-таблицю 10 і виконаємо розв´язування за алгоритмом симплексного методу. У результаті після однієї ітерації перерахування таблиці одержали в оцінному рядку всі ∆j≥0. Виходить, отриманий опорний план вихідної задачі X₁=800; X₂=X₃=X₄=0; X₅=600; X₆=3400; X₇=0, оптимальний.

Цей план випуску продукції =(800;0;0;0;600;3400;0) забезпечує її максимальну сумарну вартість max Z = 36800 грощ. од.

2. Для того, щоб знайти оптимальний план двоїстої задачі, визначимо взаємозв'язок змінних двоїстих задач і економічний зміст їх додаткових змінних. Для вихідної задачі i- а додаткова змінна

залишок i-го ресурсу для опорного плану вихідної задачі, ,

i-а змінна двоїстої задачі, означає ціну за одиницю цього ресурсу.

Таблиця 8 – Симплекс-таблиця для задачі розподілу ресурсів

Базис. змін.		Cb		Xb		46		12		10		8		0	0		0	Θo
						X1		X2		X3		X4		X5	X6		X7
X5		0		3000		3		4		4		5		1	0		0	1000
X6		0		5000		2		0		3		4		0	1		0	2500
X7		0		8000		10		12		10		8		0	0		1	800
Z =				0		-46		-12		-10		-8		1	0		0
X5	0		600		0		0.4		1		2.6		0		1	-0.3
X6	0		3400		0		-2.4		1		2.4		0		1	-0.2
X1	46		800		1		1.2		1		0.8		0		0	0.1
Z =				36800		0		43.2		36		28.8		0	0		4.6
					У4		У5		У6		У7		У1		У2	У3

Для двоїстої задачі j-а додаткова змінна,

,

різниця між сумарною вартістю витрат усіх ресурсів y_m+j на одиницю j-го виду продукції та вартістю за одиницю цієї продукції. Тому y_m+j (j=1,…,n) можна трактувати як характеристику рентабельності випуску j-го виду продукції. Якщо y_m+j>0, тоді випуск j-го виду продукції не рентабельний (витрати більші за ціну), якщо y_m+j=0, тоді випуск j-го виду продукції рентабельний. У зв´язку за вищевикладеним, основним змінним однієї задачі відповідають додаткові змінні іншої, тобто

Xn+i Yi , ,

Ym+i Xi , .

Причому для оптимальних планів цих задач з [2;3;5] випливає, що

, (1)

. (2)

З огляду на те, що всі змінні від´ємні, з (1) і (2) одержимо для оптимальних планів

X⁰_n+i=0 y⁰_i>0 чи X⁰_n+i>0 Y⁰_i=0 ,

Y⁰_m+j=0 X⁰_j>0 чи Y⁰_m+j>0 X⁰_j=0 . (3)

З (3) випливає: для оптимальних планів двоїстих задач:

1) якщо i-й ресурс цілком використовується, (X⁰n+i=0) , тоді його ціна Y⁰i>0, якщо ні, (X⁰n+i>0) , тоді його ціна y⁰_i=0, (j=1,…,m);

2) якщо витрати на випуск одиниці j-го виду продукції більші за її ціну, Y⁰_m+j>0, то ця продукція не випускається, X⁰_j=0, якщо Y⁰_m+j=0, тоді випуск j-го виду продукції рентабельний і X⁰_j>0, (j=1,…,n).

З огляду на вищесказане і відповідність змінних, знайдемо оптимальний план двоїстої задачі за даними симплекс-таблиці з оптимальним планом.

Одержимо =(0;0;4,6;0;43,2;36;28,8).

З симплекс-таблиці з оптимальним планом випливає, що min f = max Z = 36800 грош.од..

З огляду на економічний зміст змінних двоїстих задач проведемо економічний аналіз результатів.

Рентабельний тільки випуск продукції першого виду (y⁰₄=0) у кількості X⁰₁=800 од. Випуск інших видів продукції не рентабельний, при випуску одиниці продукції цих видів збитки складуть, відповідно, 43,2(У⁰₅), 36(У⁰₆), 28,8(У⁰₇) грош. одиниць. Тому X⁰₂=X⁰₃=X⁰₄=0. При такому плані випуску максимальна вартість випущеної продукції складе 36800 грош.од..При цьому верстатні ресурси цілком витратяться, їхній залишок X⁰₇=0, вони дефіцитні, їхня ціна за одиницю складе В⁰₃=4,6 грош.од..Трудові та матеріальні ресурси витрачаються не цілком, вони не дефіцитні. Тому їхня ціна за одиницю У⁰₁=У⁰₂=0, залишки, відповідно, X⁰₅=600 і X⁰₆=3400 од..

З огляду на вищевикладене, для збільшення сумарної вартості випущеної продукції необхідно збільшувати запаси дефіцитного ресурсу–верстатного.

З [2;3;5] випливає, що

. (4)

Тому збільшення запасу верстатного ресурсу b₃ на одиницю призведе до збільшення максимальної сумарної вартості випущеної продукції на В⁰₃ =

4,6 грош. од..

3) Досліджуємо допустимі межі зміни дефіцитного ресурсу, усередині яких змінні, що входять в оптимальний базис, не змінюються, тобто не змінюється асортимент продукції, що випускається, а змінюється тільки її обсяг залежно від збільшення чи зменшення ресурсу на ∆b. Якщо дефіцитним є i-й ресурс, то, з огляду на лінійність матричних перетворень, можна показати [2;3;5], що новий оптимальний план при зміні i-го ресурсу на ∆b_i буде

, (5)

причому

. (6)

З (5) і (6) знайдемо ∆b₃ при m=4 . Отримаємо

Тоді b₃ буде змінюватися

8000-8000≤b₃≤8000+2000, 0≤b₃≤10000

Таким чином, якщо ринок не насичений продукцією першого виду і є конкуренти, підприємству доцільно зменшити запаси трудових і матеріальних ресурсів на 600 і 3400 од., відповідно, і за рахунок цих засобів закупити 2000 од. верстатних ресурсів. Це призведе до збільшення випуску продукції першого виду до X⁰₁ = 800+0,1·2000 = 1000 од. і вартості випущеної продукції до 46·1000 = 46000 грош. од., тобто на 4,6·2000 = 9200 грош. од..

Якщо на ринку немає конкурентів з реалізації продукції першого виду, тобто підприємство монополіст, то збільшення вартості продукції можна досягти іншим шляхом– за рахунок збільшення її ціни. Досліджуємо допустимі межі її зміни ∆C. При цьому будемо використовувати оптимальне розв´язання двоїстої задачі В₀, що знаходиться в оцінному рядку останньої таблиці. Формули, аналогічні (5), (6) мають вигляд:

, (7)

причому

, (8)

де - вектор – рядок останньої симплекс-таблиці, який відповідає виду продукції, що випускається.

У нашій таблиці це третій рядок. Тоді

∆С₁≥0 ∆С₁≥0

43,2+1,2∆С₁≥0 ∆С₁≥-36

36+∆С₁≥0 => ∆С₁≥-36 => ∆С₁≥0.

28,8+0,8∆С₁≥0 ∆С₁≥-36

4,6+0,1∆С₁≥0 ∆С₁≥-46

Тоді 46≤C₁<∞.

Одержали, що теоретично ціну на продукцію першого виду можна збільшувати необмежено.

4) Проаналізуємо доцільність розширення асортименту за рахунок випуску продукції П-5. Для цього порахуємо для отриманих оптимальних цін на ресурси їхні сумарні витрати на одиницю П-5. Одержимо 5·У⁰₁+6·У⁰₂+9·У⁰₃=5·0 + 6·0 + 9·4,6 = 41,4 грош. од. оскільки витрати менші за заплановану ціну одиниці продукції (41,4 < 50), то випуск продукції П-5 рентабельний і прибуток від випуску одиниці П-5 складе 8,6 грош. од.

Завдання 1.2 Розв´язання транспортної задачі

Є три постачальники і чотири споживачі однорідного продукту. Потужності постачальників і попити споживачів, а також витрати на перевезення одиниці вантажу для кожної пари «постачальник-споживач» зведені в таблицю 9 постачань.

Задача у наступному: знайти об'єми перевезень для кожної пари «постачальник-споживач» так, щоб:

1​ потужності всіх постачальників були реалізовані;

2​ попити всіх споживачів були задоволені;

3​ сумарні витрати на перевезення були мінімальні.

Розв´язок

Поставлено збалансовану транспортну задачу, оскільки сумарний попит дорівнює сумарній потужності постачальників 280.

Для отримання начального опорного плану перевезень скористаємось методом мінімального елемента.

Таблиця 9 – Потужності постачальників і попити споживачів, витрати на перевезення одиниці вантажу

			Споживачі								Потужність постачальників ai
			B1		B2		B3		B4
Постачальники	A1	1		2		5		3		60
	A2	1		6		5		2		120
	A3	6		3		7		4		100
Попит bj			20		110		40		110		280

Для покращення будемо використовувати таблицю 10, у правому верхньому кутку якої стоїть тариф відповідного перевезення, а у лівому нижньому кутку – плановий обсяг перевезення.

Знаходимо в таблиці клітинки з найменшим тарифом. Таких клітин дві- (1;1) і (2;1) із тарифом, що дорівнює 1. Порівнюємо максимально можливі постачання для цих клітинок: для клітинки (1;1) x₁₁=min{60,20}=20, для клітинки (2;1) x₂₁=min{120,20}=20. Оскільки їх значення збігаються, то максимально можливе постачання записуємо в будь-яку з них. Наприклад, записуємо постачання, що дорівнює 20 од. у клітинку (2;1). У результаті попит першого споживача задоволений і перший стовпець таблиці постачань випадає

з наступного розгляду, а виробничу потужність для другого рядка зменшуємо на 20 од. Аналогічним способом продовжуємо заповнювати невикреслені клітинки таблиці. У останній клітинці попит і пропозиція повинні збігтися, оскільки розглядається збалансована задача. Слід зазначити, що в таблиці повинна бути заповнена n+m-1 клітинка перевезень ( де n - число постачальників, m- число споживачів ).

Наприклад, для розглянутої задачі повинно бути заповнено 3+4-1=6 клітин. Остаточно одержуємо початковий опорний план перевезень.

Таблиця 10 – Отримання начального опорного плану перевезень

	1		2		3		4		ai
1		1		2		5		3	60
			60
2		1		6		5		2	120 100
	20						100
3		6		3		7		4	100
			50		40		10
bj	20		110		40		110		280

Тепер скористаємося методом потенціалів, усі розрахунки виконаємо у таблиці 11. Для цього кожному стовпцю припишемо потенціал v_j , а кожному рядку - потенціал u_i. Для кожної заповненої клітини складемо лінійне рівняння за правилом u_i+v_j=c_ij, де c_ij - тариф відповідного перевезення. Потім розв’яжемо систему 6-ти рівнянь.

Оскільки в рівняннях буде 7 невідомих (3 потенціали u і 4 потенціали v), то довільний потенціал можна дорівняти до нуля.

Тепер для кожної незаповненої клітинки необхідно знайти оцінку _ij= u_i+v_j-c_ij. Якщо всі оцінки будуть негативними або нульовими, то початковий опорний план є оптимальним.

₁₁=-1+3-1=1; ₁₃=-1+7-5=1; ₁₄=-1+4-3=0; ₂₂=-2+3-6=-5; ₂₃=-2+7-5=0; ₃₁=0+3-6= -3. Оцінки ₁₁ і ₁₃ позитивні, отже, отримане початкове опорне

Таблиця 11– Розрахунки методом потенціалів

		1		2		3		4			ai
		V1=3		V2=3		V3=7		V4=4
1	U1=-1	1	1		2	-1	5	0	3	60
				60
2	U2=-2		1	-5	6	0	5		2	120
		20						100
3	U3=0	-3	6		3		7		4	100
				50		40		10
bj		20		110		40		110

розв’язання не оптимальне. З оцінок вибираємо найбільшу – ₁₁, отже, у клітинку (1;1) будемо заносити ненульове перевезення. Заносимо в клітинку (1;1) знак «+» і будуємо ланцюг потенціалів, що може проходити тільки по заповнених клітинках, із чергуванням знаків «+» і «-» і повертається у вихідну незаповнену клітину, таблиця 12.

Cеред клітинок, позначених мінусом, вибираємо ту, що містить найменше перевезення. Це клітинка (3;4) з К=Х₃₄ =10. У подальших обчисленнях ця клітинка буде вважатися незаповненою, тому що далі вміст вибраної клітинки,10, додаємо до вмісту клітинок, що позначені «+», і віднімаємо з клітинок, що позначені «-».У таблиці 12 повинна виявитися, як і раніше, n+m-1 заповнена клітинка. Перевіряємо отриманий опорний план на оптимальність.

Таблиця 12 – Перехід до іньшого опорного плану з використанням ланцюга потенціалів

			1		2			3			4			ai
			V1		V2			V3			V4
1	U1			1		2			5			3	60
		+			- 60
2	U2			1		6			5			2	120
		- 20								+ 100
3	U3			6		3			7			4	100
					+ 50		40			- 10
bj			20		110			40			110

₁₃=1; ₁₄=-1; ₂₂= -4; ₂₃=1; ₃₁= -4; ₃₄= -1.

Тому що є дві клітини (1;3) і (2;3) з позитивними оцінками, то отриманий опорний план, таблиця 13, не оптимальний. Знайдемо новий опорний план з використанням ланцюга потенціалів, таблиця 13.

Оскільки дві позитивні оцінки набувають однакових позитивних значень, ₁₃=₂₃=1, то можна занести ненульове перевезення або в клітинку (1;3), або в клітинку (2;3). Якщо у ланцюг будє включено клітинку (1;3),таблиця 13, то це перевезення буде дорівнювати 40 од.. Таким чіном одержано новий опорний план, таблиця 14.

Перевіряємо отриманий опорний план на оптимальність.

Таблиця 13 – Отриманий опорний план

			1			2		3		4		ai
			V1=2			V2=3		V3=7		V4=3
1	U1=-1			1			2	1	5	-1	3	60
		10			- 50			+
2	U2=-1			1	-4		6	1	5		2	120
		10								110
3	U3=0	-4		6			3		7	-1	4	100
					+ 60			- 40
bj			20			110		40		110

Таблиця 14 – Оптимальний опорний план

		1		2		3			4			ai
		V1=1		V2=2		V3=5			V4=2
1	U1=0		1		2		5	-1		3	60
		10		10		40
2	U2=0		1	-4	6	0	5			2	120
		10						110
3	U3=1	-4	6		3	-1	7	-1		4	100
				100
bj		20		110		40			110

₁₄= -1; ₂₂= - 4; ₂₃= 0; ₃₁= - 4; ₃₃= -1; ₃₄= -1.

Оскільки серед оцінок немає позитивних, можна сказати, що отриманий опорний план є оптимальним, але не єдиним (₂₃= 0).

У підсумку підприємствам можна запропонувати наступний план перевезень:

При такому розподілі перевезень потужності всіх постачальників будуть реалізовані, попит усіх споживачів задоволений, сумарні витрати складуть:

грош. од.

Завдання 2.1 Розв´язання задачі про призначення

У конструкторському бюро потрібно розробити проект машини, що складається із чотирьох вузлів. До їх розробки можна залучити чотирьох конструкторів. Відомий час, що витрачається кожним конструктором на розробку будь-якого вузла. Потрібно визначити, хто і який вузол машини повинен проектувати, щоб сумарний час проектування всієї машини був мінімальним.

Розв´язок

Нехай необхідно розв’язати задачу про призначення, якщо задана матриця витрат часу на розробку будь-якого вузла кожним конструктором:

.

1​ Приведемо матрицю до такого вигляду, щоб у кожному стовпці й кожному рядку знаходився хоча б один нуль. Для цього знайдемо в кожному рядку матриці мінімальний елемент і віднімемо його від усіх елементів відповідного рядка. Аналогічні перетворення виконаємо також з елементами стовпців.

2​ Якщо після першого кроку можливий вибір чотирьох незалежних нулів, тоді можна стверджувати, що задача розв’язана. Незалежні нулі для зручності будемо позначати (*). При розставленні позначок найкраще вибирати рядок або стовпець, що містять найменшу кількість нулів. У цьому рядку (стовпці) вибираємо нуль, позначаємо його і викреслюємо інші нулі в рядку чи стовпці, на перетині яких знаходиться вибраний (або незалежний) нуль. Позначки ставимо доти, доки в матриці існують вільні (непозначені або невикреслені) нулі.

У розглянутому прикладі не вдалося відразу ж одержати оптимальне розв’язання, отже, переходимо до виконання третього кроку.

3​ Проведемо мінімальне число горизонтальних і вертикальних ліній, що перетинають, принаймні, один раз усі нулі. Для задач невеликої розмірності візуально легко нанести шукані лінії, для більш складних зручно використати наступний алгоритм:

1. Позначаємо всі рядки, що не містять незалежних нулів.

2. Позначаємо всі стовпці, що містять нуль хоча б в одному позначеному рядку.

3. Позначаємо всі рядки, що містять незалежні нулі в позначених стовпцях.

Кроки 2 і 3 виконуємо доти, доки можливо ставити позначки. Далі викреслюємо непозначені рядки і позначені стовпці.

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

Якщо виявилося, що кількість ліній дорівнює n ,тоді необхідно повернутися на попередній крок (позначки нулів) і знову вибрати незалежні нулі. Такий варіант можливий, якщо при проставлянні позначок 2 або більше нулів у рядку мали «однакове право» бути незалежними.

4​ Серед елементів, через які не пройшла жодна з ліній, вибираємо найменший. Віднімаємо це число від усіх елементів, через які не пройшла жодна лінія, і додаємо його до всіх елементів, через які проведені дві лінії.

5​ Повертаємося до кроку вибору незалежних нулів. У розглянутому прикладі одержуємо відразу два оптимальних розв’язання:

1-ше завдання 1-й ресурс;

2-ге завдання 2-й ресурс (або 4-й ресурс);

3-тє завдання 3-й ресурс;

4-те завдання 4-й ресурс (або 2-й ресурс).

У результаті такого призначення система виконає всі завдання за 17 умовних одиниць часу.

Зауваження. У тому випадку, якщо необхідно розв’язати задачу отримання максимального значення функції мети, можна скористатися наступною формулою переходу, що слушна для будь-якої задачі лінійного і нелінійного програмування: min (L) = - max (-L) (тобто елементи матриці С помножити на (-1) ).

Завдання 2.2 Розв’язати задачу цілочислового програмування

Розв’язання

Зведемо ЗЛП до канонічного вигляду, помноживши перше рівняння на –1.

Оскільки в рівняннях обмежень відсутні базисні змінні, то введемо штучні базисні змінні , і розв’яжемо М-задачу в симплекс-таблиці 15.

Оскільки , то отриманий план ЗЛП: не цілочисловий. Застосуємо метод Гоморі і знайдемо розв’язання ЗЦП.

Таблиця 15– Симплекс-таблиця М-задачі

		с	2	-1	-5	-3	М	М
хб	сб	xi	x1	x2	х3	х4	x5	х6	Q
х5	М	7	-1	2	3	1	1	0	7/3
x6	М	6	2	1	-1	3	0	1	6/3
без М		0	-2	1	5	3	0	0	∆'j
с М		13	1	3	2	4	0	0	∆''j
х5	М	5	-5/3	5/3	10/3	0	1	-1/3	1,5
х4	-3	2	2/3	1/3	-1/3	1	0	1/3
без М		-6	-4	0	6	0	0	-1	∆'j
с М		5	-5/3	5/3	10/3	0	0	-4/3	∆''j
x3	-5	1,5	-0,5	0,5	1	0	0,3	-0,1
х4	-3	2,5	0,5	0,5	0	1	0,1	0,3
без М	f	-15	-1	-3	0	0	-1,8	-0,4	∆'j
с М		0	0	0	0	0	-1	-1	∆''j

Складемо правильне відсікання

Оскільки , то для побудови відсікання можна взяти будь-який рядок, наприклад, другий.

Одержимо

Додамо це обмеження новим рядком до симплекс-таблиці 16.

Оскільки j , то отриманий план: , оптимальний, цілочисловий,

Зауваження. Якщо розв’язувати ЗЦП на максимум функції мети f, тоді штучні базисні змінні додаються до функції мети з коефіцієнтами – М.

Таблиця 16 – Симплекс-таблиця

			2	-1	-5	-3	0
Хб	Сб	Xі	X1	X2	X3	X4	X5	Q
x3	-5	1,5	-0,5	0,5	1	0	0
х4	-3	2,5	0,5	0,5	0	1	0	0,5
х5	0	-0,5	-0,5	-0,5	0	0	1	1
f	=	-1,5	-1	-3	0	0	0	j
x3	-5	2	0	2	1	0	-1
х4	-3	2	0	0	0	1	1
x1	2	1	1	1	0	0	-2
f	=	-14	0	-2	0	0	-2	j

Задача 3.1 Про розподіл капіталовкладень між чотирма підприємствами

Знайти оптимальний план розподілу капіталовкладень S= 25 грош. один.. між чотирма підприємствами, якщо приріст випуску продукції для i-го підприємства, r_i(x), і=1,…,4, залежно від обсягу капіталовкладень, x, відомий і заданий у таблиці 17.

Таблиця 17 – Обсяг капіталовкладень і приріст випуску продукції для підприємств

Обсяг кап. вкладень X	Приріст продукції по i-му підприємству
	r1(x)	r2(x)	r3(x)	r4(x)
5	18	20	16	20
10	20	21	27	23
15	27	31	34	26
20	31	37	40	31
25	40	40	41	40

Розв΄язок. Нехай x_k - обсяг капітальних вкладень, виділених k-му підприємству k=1,2,3,4, x - обсяг капітальних вкладень, виділених на n підприємств, f_n(x)– сумарний максимальний прибуток від n-підприємств при виділенні їм капіталовкладень обсягу х.

Тоді функціональні рівняння Беллмана:

.

Перший етап: n=1 , тому що r₁(x) – зростаюча функція. Значення функції f₁(x) наведені у таблиці 18.

Таблиця 18 – начення функції f₁(x)

x	5	10	15	20	25
f1(x)	18	20	27	31	40

Другий етап: n=2 , .

Усі обчислення для знаходження значень функції f₂(x) проведемо у таблиці 19.

Таблиця19 – Результати розрахунків другого етапу

x2 x	0	5	10	15	20	25	f2(x) 90	x2*
5	0+18	20+0	-	-	-	-	20	5
10	0+20	20+18	21+0	-	-	-	38	5
15	0+27	20+20	21+18	31+0	-	-	40	5
20	0+31	20+27	21+20	31+18	37+0	-	49	15
25	0+40	20+31	21+27	31+20	37+18	40+0	55	20

x₂^* – оптимальне значення обсягу капітальних вкладень, виділених 2-му підприємству, при 0 ≤ х₂ ≤ х.

Третій етап: n=3 , .

Усі обчислення для знаходження значень функції f₃(x) проведемо у таблиці 20.

Таблиця 20 – Результати розрахунків третього етапу

x3 x	0	5	10	15	20	25	f3(x) 90	x3*
5	0+20	16+0	-	-	-	-	20	0
10	0+38	16+20	27+0	-	-	-	38	0

Продовження таблиці 20

15	0+40	16+38	27+20	34+0	-	-	54	5
20	0+49	16+40	27+38	34+20	40+0	-	65	10
25	0+55	16+49	27+40	34+38	40+20	41+0	72	15

х₃^* – оптимальне значення обсягу капітальних вкладень, виділених 3-му підприємству, при 0 ≤ х₃ ≤ х.

Четвертий етап: n=4 , .

Усі обчислення для знаходження значень функції f₄(x) проведемо у таблиці 21.

Таблиця 21 – Результати розрахунків четвертого етапу

x4 x	0	5	10	15	20	25	f4(x) 90	x4*
5	0+20	20+0	-	-	-	-	20	0;5
10	0+38	20+20	23+0	-	-	-	40	5
15	0+54	20+38	23+20	26+0	-	-	58	5
20	0+65	20+54	23+38	26+20	31+0	-	74	5
25	0+72	20+651	23+54	26+38	31+20	40+0	85	5

х₄^* – оптимальне значення обсягу капітальних вкладень, виділених 4-му підприємству, при 0 ≤ х₄ ≤ х.

Висновки. При розподілі між чотирма підприємствами грошової суми в 25 грош. один. при таких обсягах капітальних вкладення у підприємства буде сумарний максимальний приріст випуску продукції :

четвертому підприємству 5 грош. один., що забезпечить приріст продукції 20 грош. один.;

третьому підприємству з 20 грош. один., що залишилися – 10 грош. один., що забезпечить приріст продукції у 27 грош. один.;

другому підприємству з 10 грош. один., що залишилися – 5 грош. один., що забезпечить приріст продукції у 20 грош. один.;

першому підприємству 5 грош. один., що залишилися, що забезпечить приріст продукції у 18 грош. один..

Перевірка. 20 + 27 + 20 + 18 = 85 = f₄(x).