- •Тема 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки.
- •Тема 2. Оптимізаційні економіко-математичні моделі.
- •Тема лекції: Математичне моделювання. Економічна та математична постановка матричних та оптимізаційних задач
- •Предмет математичного моделювання.
- •Класификація економіко – математичних моделей. Формальна класіфикація моделей.
- •Задачі математичного програмування.
- •4. Класифікація методів математичного програмування.
- •5. Задачі планування та організації виробництва.
- •5.1. Задача про максимальну рентабельність підприємства.
- •5.2. Задача про завантаження обладнання
- •6. Модель міжгалузевого балансу „Витрати - випуск”.
- •Коефіціети прямих та побічних витрат.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі зметодів її розв’язування
- •Тема лекції: Основні теореми та властивості задач лінійного програмування (лп).
- •1. Загальна форма задачі лінійного програмування (лп).
- •2. Основні теореми та властивості задачі лп.
- •3. Графічний метод розв’язання задач мп.
- •Алгоритм знаходження розв’язку задачі мп графічним методом.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 3. Задача лінійного програмування та методи її розв’язування.
- •Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач.
- •Тема лекції: Вирішення задач лп симплекс-методом. Двоїста задача лп.
- •1. Представлення задач лп в матричній та векторній формі.
- •2. Симплексний метод розв’язання задач лп. Теоретичні основи симплекс-метода.
- •3. Метод штучної бази.
- •4. Двоїста задача лп.
- •Двоїста задача
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 3. Задача лінійного програмування та методи її розв’язування.
- •Тема лекції: Транспортна задача
- •1 Економічна та математична моделі транспортної задачі.
- •2 Основні теореми транспортної задачі.
- •3. Метод північно-західного кута (діагональний.)
- •5. Метод потенціалів.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 5. Цілочислове програмування
- •Тема 6.Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
- •Тема лекції: Узагальнення задачі лінійного програмування.
- •Задачі цілочислового програмування.
- •2. Метод Гоморі.
- •3. Параметричне лінійне програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Аналіз та управління ризиком в економіці.
- •Тема лекції: Економічний ризик: ігрові моделі. Матричні ігри
- •1. Постановка задач теорії ігор з нульовою сумою.
- •Задачі з сідловою точкою. Задачі в чистих стратегіях.
- •Ігри в мішаних стратегіях. Основна теорема теорії ігор.
- •Зведення задач теорії ігор до задач лп.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
- •Тема лекції: Задача дробово-лінійного програмування
- •Постановка задачі дробово-лінійного програмування.
- •2. Приведення задачі дробово-лінійного програмування до задачі лінійного програмування.
- •3. Розв’янання задач дробово-лінійного програмування.
- •4. Графічне розв’язання задачі дробово-лінійного програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем Лекція 8 Тема лекції: Задачі нелінійного програмування
- •1. Постановка задачі пошуку екстремуму функції.
- •2. Властивості опуклих множин і опуклих функцій
- •Необхідні та достатні умови безумовного екстремуму функції. Необхідні умови першого порядку
- •Необхідні умови екстремуму функції другого порядку
- •Достатні умови екстремуму
- •Перевірка виконання умов функції на екстремум.
- •Критерій Сильвестра перевірки достатніх умов екстремуму.
- •Умовний екстремум при обмеженнях типу рівність.
- •Стратегія вирішення задачі
- •Необхідні умови екстремуму першого порядку при обмеженнях типу рівність.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 8. Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику
- •Тема лекції: Економічний ризик
- •1. Поняття ризику. Причини виникнення, класифікація ризику.
- •3. Кількісні методи оцінки ризиків
- •4. Статистичні ігри
- •Питання для самоконтролю.
3. Графічний метод розв’язання задач мп.
Загальна задача ЛП геометрично інтерпретується так: кожне k – те обмеження – рівність
ak1x1 + ak2x2 + ak3x3 + …….+ aknxn= bk (k=1,….m)
задає в n – вимірному просторі основних змінних х1,х2,х3…..хк, ....... хn гіперплощину, а кожне k – те обмеження – нерівність
ak1x1 + ak2x2 + ak3x3 + …….+ aknxn ≤ bk (k=1,….m), визначає деяку ггіперплощину та півпростір n – вимірного простору, що лежить на один бік від цієї гіперплощини. За умоми сумітності системи нерівностей (2) та (3), перетин усіх цих півпросторів як опуклих множин, утворює опуклий многогранник допустимих розв’язків. Кожна вершина цього многогранника розв’язків визначає опрний план.
Розглянемо геометричну інтерпритацію задачі ЛП для випадку n=2.
Задача 1. Розв’язати задачу ЛП графічно.
2х1 + 3х2≤12
2х1 - х2≤4
х1,х2≥0
а) z =3х1 + х2→max
b) z =х1 + 5х2→max
c) z =4х1 + 6х2→max
Алгоритм розв’язку задачі ЛП графічним методом
Побудова многогранника розв’язків.
Визначаємо область допустимих розв’язків (перетин півплощін, що відповідають, обмеженням задачі). Згідно з обмеженнями (3) многокутник розв’язків міститься у першому квадранті. Область допустимих розв’язків (ОДР) може бути поржньою множиною, опуклим многокутником або необмеженою многокутною опуклою областю.
У першому випадку задача ЛП не має розв’язків.
В другому – завжди існує точка (або точки), в яких цільова функція (1) набуває максимального або мінімального значення.
У третьому – лінійна функція (1) на ОДР може не досягти екстремуму.
Надалі, нехай ОДР не є порожньою множиною.
Будуємо вектор нормалі N=(c1,c2). Вектор нормалі вказує на напрямок зростання цільової функції (1).
Проводимо перпендикулярно до вектора нормалі N=(c1,c2) лінію рівня.
Визначення оптимальних крапок.
Для знаходження крапки максимуму цільової функції зміщуємо лінію рівня паралельно самій собі у напрямку вектора нормалі N доти, доки пряма не стане опорною до множини ОДР.
Обчислення оптимальних значень.
Для цього знаходимо координати вершин, в яких досягається максимум (мінімум) цільової функції (1) та обчислюємо ці значення.
У загальному вигляді задача МП з двома змінними формулюється таким чином:
Z=f(x1, x2) →max/min (10)
За умов
gk(x1,x2)≤ bk к=1,2,......m (11)
x1,x2≥0 (12)
де f та gk можуть бути лінійними або нелінійними.
При розв’язанні задачі (10) – (12) графічним методом важливим є поняття лінії рівня цільової функції.
Лінія рівня цільової функції називається така множина значень іі змінних, при яких функція набуває сталого значення f(x1, x2)=c:
для лінійної функції f(x1, x2)=c=const – паралельні прямі;
для квадратичної функції f(x1, x2)=(х1)2 +(х2)2 = c =const – концентричні кола різних радіусів r=(c)1/2;
для f(x1, x2)=a(х1)2 +b(х2)2 = c =const – концентричні еліпси.
Алгоритм знаходження розв’язку задачі мп графічним методом.
Знаходимо ОДР.
Будуємо лінії рівня цільової функції f(x1, x2)=c.
Визначаємо лінії рівня найвищого (найнижчого) рівня або встановлюємо нерозв’язність задачі із-за необмеженості цільової функції зверху (знизу) на ОДР.
Знаходимо крапку області допустимих розв’язків, через яку проходить лінія найвищого (найнижчого) рівня і обчислюємо у ній значення цільової функції.