5. Задачі планування та організації виробництва.

5.1. Задача про максимальну рентабельність підприємства.

Нехай: m – кількість ресурсів; n – кількість товарів; а_ij – кількість одиниць i- го ресурсу, які необхідні для виробництва одиниці j – го товару; b_i – максимальна кількість одиниць i- го ресурсу, що можна використати у виробництві; с_j – прибуток від реалізації одиниці j – го товару; х_j – запланований рівень виробництва одиниць j – го товару.

Загальна кількість одиниць i- го ресурсу, що використовується у виробництві згідно з планом, дорівнює

а_i1x₁ + а_ij2x₂ +а_i3х₃ +_.........+ а_inх_n (i=1.2.3…..m) (1)

Оскільки вона не повинна перевищувати максимальної кількості одиниць i- го ресурсу, яку можна використати у виробництві, то

а_i1x₁ + а_ij2x₂ +а_i3х₃+_.........+ а_inх_n ≤ b_i (i=1.2.3…..m) (2)

Очевидно, що х_j≥0 (j=1.2.3…..n)

Прибуток, одержаний від виробництва х_j одиниць j – го товару, дорівнює с_j х_j, а загальний прибуток визначаємо за формулою

Z= c₁x₁ + c₂x₂+ c₃x₃ + ……… + c_nx_n →max (3)

З економічної точки зору задача полягає в тому, щоб загальний прибуток був максимальним.

5.2. Задача про завантаження обладнання

Нехай підприємству задано план виробництва продукції за часом і номенклатурою: треба за час Т виготувати n₁, n₂, …… n_k одиниць продукції Р₁, Р₂, P₃, ……P_k. Продукція обробляється на верстатах S₁, S₂, S₃,……. S_m. Для кожного верстата відома продуктивність а_ij (тобто кількість одиниць продукції Р_j, яку можна виготувати на верстаті S_i) і витрати b_ij на виготовлення продукції Р_j на верстаті S_i за одиницю часу.

Необхідно скласти такий план роботи верстатів (тобто так розподілити обробку продукції між верстатами), щоб витрати на виробництво всієї продукції були мінімальними.

Позначимо х_ij – час, протягом якого верстат S_i буде виготовляти продукцію Р_j (i=1.2.3…..m, j=1.2.3…..n).

Оскільки час роботи кожного верстата обмежений і не перевищує Т, то справедливі нерівності:

x_1,1+ x_1,2 +x_1,3 + ……. + x_1,k ≤ T

x_2,1+ x_2,2 +x_2,3 + ……. + x_2,k ≤ T

x_3,1+ x_3,2 +x_3,3 + ……. + x_3,k ≤ T (4)

x_m,1+ x_m,2 +x_m,3 + ……. + x_m,k ≤ T

Для виконання плану виготовлення за номенклатурою необхідно, щоб виконувались рівності:

a₁₁x₁₁+a₂₁x₂₁+……………. + a_m1x_m1 ≤ n₁

a₁₂x₁₂+a₂₂x₂₂+ …………… +a_m2x_m2 ≤ n₂

…………………………………………. (5)

a_1kx_1k+a_2kx_2k+………………+a_mkx_mk ≤ n_k

Крім цього, х_ij≥0, (i=1.2.3…..m, j=1.2.3…..k) (6)

Витрати на виробництво всієї продукції задаються функцією

L= b_1kx_1k+b_2kx_2k+……+b_mkx_mk →min (7)

Отже, ЕММ задачі про завантаження обладнання має вигляд:

Знайти такий розв’язок Х=(x₁₁,x₁₂,x₁₃,…….,x_mk ) , що задовольняє системам (4) – (6), за якою функція набуває мінімального значення.

6. Модель міжгалузевого балансу „Витрати - випуск”.

Матричні ЕММ призначені для аналізу та планування виробництва та розподілу продукції на різних рівнях – від окремого підприємства до народного господарства в цілому.

Ціль балансового аналізу – відповісти на запитання: яким повинен бути об’єм виробництва кожної з галузей, щоб задовільнити усі потреби в продукції цієї галузі? При цьому кожна галузь виступає, з одного боку, як виробник продукції, а з другого боку як споживач продукції і своєї і інших галузей.

Зв’язок між галузями, відображається у таблицях міжгалузевого балансу, а математична модель, яка дозволяє їх аналізувати, розроблена в 1936 році американським вченим В. Леонтьєвим.

Основу балансу створює сукупність усіх галузей матеріального виробництва, їх число дорівнює n.

Кожна галузь двічі присутня в балансі: як виробник так і як споживач галузі. Як виробнику відповідає визначена строка балансу, а галузі як споживачу визначен стовпець балансу. Якщо номер будь якого виробника галузі позначити через i, а номер будь якої споживчої галузі через j, то величину х_ij потрібно розуміти як вартість засобів виробництва, вироблених у

i-й галузі та спожитої в якості матеріальних витрат в j-й галузі.

Матрична модель міжгалузевого балансу

Виробнича галузь	Споживча галузь					Продукція, тис.грн.
	1	2	3	j	N	Кінцева	Валова
1	x11	x12	x13	…	x1n	y1	X1
2	x21	x22	x23	…	x2n	y2	X2
3	x31	x32	x33	…	x3n	y3	X3
I	…	…	…	…	…	...	…
N	xn1	xn2	xn3	…	xnn	yn	Xn
Оплата праці	v1	v2	v3	…	vn	vкон	-
Чистий дохід, тис. грн.	m1	m2	m3	…	mn	mкон	-
Валова продукція, тис. грн.	X1	X2`	X3	…	Xn	-	X

В стовбцях міжгалузевого балансу відображена структура матеріальних витрат та чистої продукції кожної галузі. Припустимо. 1-а галузь – це виробництво електоенергії, друга – вугільна промисловість. Тоді величина х₁₁ показує вартість електроенергії, яку спожила 1-а галузь для своїх внутрішніх виробничих потреб. Величина x₁₂ відображає витрати вугілля при виробництві електроенергії. В цілому ж стовбець х₁₁, x₂₁, х₃₁, ..., х_n1 характеризує структуру матеріальних витрат за звітний рік в розрезі галузей- постачальників.

В балансі відображені не тільки матеріальні витрати, но і чиста продукція галузей. Так, чиста продукція 1-ї галузі характеризується сумою оплати праці v₁ та чистого доходу (прибутку) m₁. підсумок матеріальних витрат та чистої продукції дорівнює, очевидь, валової продукції галузі (наприклад, для першої галузі – величені Х₁). Таким чином, можна записати:

Х1=х₁₁+х₂₁+х₃₁+…+х_n1+v₁+m₁ = (8)

Такі ж співвідношення вірні і для усіх галузей i мають наступний вигляд:

X (9)

Якщо подивитися на модель по строкам міжгалузевого балансу, то там представлен розподіл річного об’єму продукції кожної галузі матеріального виробництва.

Х₁ = х₁₁+х₁₂+х₁₃+ … +х_1т+y₁ =

тоді для будь-якої виробничої галузі

Х_i= (10)

Якщо порівняти ліву та праву частину рівнянь (9) та (10), то можна відмітити, що :

(11)

Вираз (11) показує, що в міжгалузевому балансі додержується принцип – єдність матеріального балансу та ватістного складу національного прибутку.

Квадрант I – проміжна продукція, показує розподіл матеріальних витрат по усім виробничим галузям.

Квадрант II – кінцева продукція, яка вийшла з сфери виробництва та попала в сферу збуту. В розгорнутому вигляді ії можна представити як продукцію, яка іде на власне споживання, на суспільні потреби, а також на поповнення ресурсів та експорт.

Квадрант III – характеризує національний дохід з боку його вартісного складу як суму оплати праці та чистого доходу усіх галузей матеріального виробництва.

Квадрант IV – відображення кінцевого розподілу та використання національного доходу.