- •Тема 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки.
- •Тема 2. Оптимізаційні економіко-математичні моделі.
- •Тема лекції: Математичне моделювання. Економічна та математична постановка матричних та оптимізаційних задач
- •Предмет математичного моделювання.
- •Класификація економіко – математичних моделей. Формальна класіфикація моделей.
- •Задачі математичного програмування.
- •4. Класифікація методів математичного програмування.
- •5. Задачі планування та організації виробництва.
- •5.1. Задача про максимальну рентабельність підприємства.
- •5.2. Задача про завантаження обладнання
- •6. Модель міжгалузевого балансу „Витрати - випуск”.
- •Коефіціети прямих та побічних витрат.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі зметодів її розв’язування
- •Тема лекції: Основні теореми та властивості задач лінійного програмування (лп).
- •1. Загальна форма задачі лінійного програмування (лп).
- •2. Основні теореми та властивості задачі лп.
- •3. Графічний метод розв’язання задач мп.
- •Алгоритм знаходження розв’язку задачі мп графічним методом.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 3. Задача лінійного програмування та методи її розв’язування.
- •Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач.
- •Тема лекції: Вирішення задач лп симплекс-методом. Двоїста задача лп.
- •1. Представлення задач лп в матричній та векторній формі.
- •2. Симплексний метод розв’язання задач лп. Теоретичні основи симплекс-метода.
- •3. Метод штучної бази.
- •4. Двоїста задача лп.
- •Двоїста задача
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 3. Задача лінійного програмування та методи її розв’язування.
- •Тема лекції: Транспортна задача
- •1 Економічна та математична моделі транспортної задачі.
- •2 Основні теореми транспортної задачі.
- •3. Метод північно-західного кута (діагональний.)
- •5. Метод потенціалів.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 5. Цілочислове програмування
- •Тема 6.Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
- •Тема лекції: Узагальнення задачі лінійного програмування.
- •Задачі цілочислового програмування.
- •2. Метод Гоморі.
- •3. Параметричне лінійне програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Аналіз та управління ризиком в економіці.
- •Тема лекції: Економічний ризик: ігрові моделі. Матричні ігри
- •1. Постановка задач теорії ігор з нульовою сумою.
- •Задачі з сідловою точкою. Задачі в чистих стратегіях.
- •Ігри в мішаних стратегіях. Основна теорема теорії ігор.
- •Зведення задач теорії ігор до задач лп.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
- •Тема лекції: Задача дробово-лінійного програмування
- •Постановка задачі дробово-лінійного програмування.
- •2. Приведення задачі дробово-лінійного програмування до задачі лінійного програмування.
- •3. Розв’янання задач дробово-лінійного програмування.
- •4. Графічне розв’язання задачі дробово-лінійного програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем Лекція 8 Тема лекції: Задачі нелінійного програмування
- •1. Постановка задачі пошуку екстремуму функції.
- •2. Властивості опуклих множин і опуклих функцій
- •Необхідні та достатні умови безумовного екстремуму функції. Необхідні умови першого порядку
- •Необхідні умови екстремуму функції другого порядку
- •Достатні умови екстремуму
- •Перевірка виконання умов функції на екстремум.
- •Критерій Сильвестра перевірки достатніх умов екстремуму.
- •Умовний екстремум при обмеженнях типу рівність.
- •Стратегія вирішення задачі
- •Необхідні умови екстремуму першого порядку при обмеженнях типу рівність.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 8. Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику
- •Тема лекції: Економічний ризик
- •1. Поняття ризику. Причини виникнення, класифікація ризику.
- •3. Кількісні методи оцінки ризиків
- •4. Статистичні ігри
- •Питання для самоконтролю.
4. Класифікація методів математичного програмування.
В залежності від властивостей функцій f та gi математичне програмування можна розглядати як самостійну дисципліну, яка займається вивченням та розробкою методів рішення окремих класів задач.
На сам перед усі задачі МП можна поділити на задачі лінійного та нелінійного програмування. При цьому, якщо всі функції f та gi лінійні, то задача є задачею лінійного програмування (ЛП). Якщо ж хоча б одна з цих функцій не лінійна, то така задача є задачею не лінійного програмування (НЛП)
Засновником ЛП є радянський математик-економіст Л.В. Канторовіч. (1939 р. наукова праця „Математичні методи організації та планування виробництва”).
Через 10 років американський математик Дж. Данціг розробив ефективний спосіб рішення даного класу задач – симплекс-метод. Вперше термін ЛП з’явився в 1951 році в працях Дж. Данціга та Т. Купманса.
Однак, при вирішенні ряду задач з’являються зв’язки не лінійного характеру. Тому вслід за розробкою моделей ЛП почалися інтенсивні дослідження не лінійних моделей.
Якщо в задачі МП цільова функція або хоча б одна з функцій обмежень нелінійна , то такий розділ МП називаеться нелінійним програмуванням (НЛП).
Якщо на всі або на деякі змінні накледені умови дискретності, наприклад, цілочисельності, то такі задачі розглядаються в розділі МП, який називається дискретним, окремо цілочисельним програмуванням.
Якщо параметри цільової функції або системи обмежень змінюються у часі або сам процес прийняття рішення має багатокроковий характер, то такі задачі вирішуються методами динамічного програмування.
В усіх наведених раніше розділах МП інформація звісна та достовірна. Такі методи оптимізації звуться детермінованими або методами існування рішень в умовах визначеності.
Якщо параметри, які належать функції цілі, або обмежень задачі є випадковими, або приймати рішення необхідно в умовах ризиків, то говорять про проблеми стохастичної оптимізації, а розділ називається стохастичним програмуванням (СП). В першу чергу слід віднести методи та моделі прийняття рішень в умовах конфліктних ситуацій (математична теорія ігор), в умовах неповної інформації (експертні оцінки), в умовах ризику (статистичні рішення) та інші.
Пізніше з’явились інші типи задач, які враховують специфіку цільової функції та системи обмежень, в зв’язку з чим виникли параметричне, дробово-лінійне, комбінаторне та інші типи програмування.
У випадку нелінійностей специфіка задач породила квадратичне, біквадратичне, сепарабельне, випукле та інші типи програмування.
З’явились численні методи пошуку оптимальних рішень: градієнтні, штрафних та барьєрних функцій, можливих напрямків, випадкового пошуку та інші.
Відзначимо, що задачі МП з однією цільовою функцією вирішуються методами скалярної оптимізації. Однак, реальні випадки настільки складні, що вимушені враховувати декілька цільових функцій, котрі повинні приймати екстремальні значення. Наприклад, дати продукції більше, високого гатунку з мінімальними витратами. Задача, де знаходять рішення по кільком цільовим функціям, відносять до векторної оптимізації – це задачі багатокритеріальні.