2. Приведення задачі дробово-лінійного програмування до задачі лінійного програмування.
Позначимо
знаменник цільової функції через
.
Природно, тут передбачається, що в
області допустимих розв’язків
.
Це означає, що скрізь в області допустимих
розв’язків знаменник не змінює знак.
Тому, не обмежуючи області застосування,
припустимо, що
,
тобто знаменник додатній. Якщо виявиться,
що знаменник від’ємний , то, помноживши
чисельник і знаменник на (-1), знову
одержимо
.
Таке позначення знаменника означає, що у задачі зявиться нове обмеження
,
(4)
або
(5)
Цільова функція тепер має вид
(6)
Всі обмеження (1) помножимо на та одержимо
(7)
Введемо нові змінні
(8)
які будуть мати той жен знак, що й xj, тому що . Тоді в нових змінних задача (1)-(3) записується у виді:
(9)
,
(10)
(11)
(12)
Нагадоємо, що (11) – це нове обмеження, що з’явилося внаслідок підстановки.
У нових змінних tj задача (9)-(12) уже є задачею лінійного програмування. Звернемо увагу на те, що хоча в початковому вигляді (1) задача записана в канонічному вигляді, це ніяк не обмежує області застосування підстановки, а просто означає, що перед підстановкою (4) систему треба приготувати до розв’язання, тобто вести додаткові змінні й, якщо потрібно, штучні, як того вимагає стандартна схема застосування симплексного методу.
3. Розв’янання задач дробово-лінійного програмування.
Розв’янання задачі дробово-лінійного програмування проілюструємо на конкретному прикладі.
Приклад 1.
Для виробництва двох виробів А і В підприємство використовує три типи технологічного обладнання. Кожний з виробів повинен пройти обробку на даному типі обладнання. Час обробки кожного з виробів, витрати, пов’язані з виробництвом одного виробу, наведено у таблиці. Обладнання 1-го та 3-го типів підприємство може використовувати не менше 48 і 6 годин відповідно, а обладнання 2-го типу не більше 50 годин.
Тип обладнання |
Витрати часу на обробку одного виробу, год. |
|
А |
В |
|
1 |
12 |
4 |
2 |
10 |
5 |
3 |
1 |
1 |
Витрати на виробництво одного виробу, тис. грн.. |
1 |
2 |
Визначити обсяг виробництва продукції за умови найменшої середньої собівартості одного виробу.