2. Метод Гоморі.

Сутність методу Гоморі (метод відтинання) полягає у тому, що спочатку розв’язується звичайна задача ЛП без урахування вимог цілочисельності змінних. Якщо отриманий оптимальний план задачі цілочисловий, то задача розв’язана. У протилежному випадку у модель вводиться спеціальне додаткове обмеження, що враховує цілочисельність змінних і володіє такими властивостями:

- вона повинна бути лінійною;

- вона повинна відтинати знайдений оптимальний нецілочисловий план задачі;

- не повинна відтинати ні одного цілочислового плану.

Додаткове обмеження, що має перелічені вище властивості, називається правильним відтинанням.

Це додаткове обмеження вводиться до оптимального плану якщо серед компонент оптимального є число з дробовую частиною. На базі цієї змінної будується додаткове обмеження Р.Гоморі:

де - дробова частина числа,

=а-[a].

[a] – ціла частина числа а, т.б. найбільше ціле число, яке не перевищує числа а.

Якщо оптимальний план задачі має де кілька дробових значень, то додаткову нерівність складають для тієї змінної яка має найбільшу дробову частину.

Геометричний зміст кожного лінійного додаткового обмеження відповідає проведенню прямої (гіперплощини), яка відтинає від многокутника допустимих розв’язків деяку його частину разом із оптимальним нечисловим планом. Причому не відтинаються точки з цілими координатами цієї області допустимих розв’язків. У результаті область допустимих розв’язків послабленої задачі поступово зменшується доти, доки всі змінні оптимального плану не набувають цілочислових значень.

Розглянемо метод Гоморі на прикладі.

Приклад 1.

за умов

3. Параметричне лінійне програмування.

Параметричне програмування являє собою один з розділів математичного програмування, вивчає завдання, в яких цільова функція або обмеження залежать від одного або кількох параметрів. Необхідність розгляду подібних завдань обумовлена різними причинами. Однією з основних є та, що вихідні дані для чисельного рішення будь-якої реальної задачі оптимізації в більшості випадків визначаються наближено або може змінюватися під впливом якихось чинників, що може істотно позначитися на оптимальності вибираної програми (плану) дій. Відповідно, розумно вказувати не конкретні дані, а діапазон можливої зміни даних, що б в результаті рішення мати найкращі плани для будь-якого варіанту вихідних даних. З математичної точки зору параметричне програмування виступає як один із засобів аналізу чутливості рішення до варіації вихідних даних, оцінки стійкості рішення.

Зауважимо, що існують різні підходи до подібного аналізу (наприклад, на основі постановки двоїстої задачі). Тут ми, не посилаючись на двоїсті оцінки, розглянемо найпростіші варіанти рішення для самих найпростіших параметричних задач. Розглянемо задачу параметричного лінійного програмування, в якій тільки коефіцієнти цільової функції лінійно залежать від деякого єдиного параметра λ (часу, температури і т. п.): Відшукати максимум (або мінімум) функції:

за умов

Якщо звернутися до геометричної інтерпретації задачі, то можна помітити, що вектор-градієнт лінійної форми визначається її параметром. Наприклад, для цільової функції L (х, λ) = λх₁ + (1-λ) х₂ при різних значеннях параметра λ градієнт визначає різні напрямки зростання функції. Неважко бачити, що, якщо при деякому значенні параметра максимум досягається в вершині A, то невелика варіація цього значення дещо змінить напрямок градієнта, але не змінить положення точки максимуму. Звідси напрошується висновок, що деякий план, оптимальний при λ = λ₀ оптимальний і в околиці λ₀, тобто при α ≤ λ ≤ β де λ₀ [α, β]. Можна помітити, що при градієнті, що став перпендикулярним деякої сторони багатокутника планів, маємо два різних оптимальних опорних плани з одним і тим же значенням лінійної форми, звідки можна стверджувати безперервність екстремуму лінійної форми за λ.

У разі необмеженість безлічі планів можна стверджувати, що якщо лінійна форма не обмежена при λ = λ₀, то вона не обмежена при всіх λ, більших або менших λ₀. Алгоритм для вирішення завдань параметричного лінійного програмування в разі залежності від параметра коефіцієнтів цільової функції незначно відрізняється від звичайного симплексного методу. У разі залежності від параметра компонент вектора правих частин обмежень, тобто рішення задачі пошуку екстремуму функції