Алгебра Жегалкина.

Анализ возможностей логических связок в формировании логических функций позволяет выделить алгебру Жегалкина, опирающуюся на базис F₄={;;1}. Использование этого базиса формирует структуру формулы в виде полиномов (2.2), каждый член которого есть конъюнкция двоичных переменных:

P(x₁;x₂;……;x_n)=₀1 _1in _ix_i _{1jkn}_jx_jx_k …… 2ⁿ-1x₁x₂…. . .x_n. (2.2)

Например, для логической функции f₈(x₁;x₂) =x₁x₂ полином Жегалкина имеет вид: F₈=P(x₁;x₂)=1x₁x₂x₁x₂.

Основные свойства операции сложения по модулю 2 приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1
Наименование закона	Эквивалентные формулы
1. коммутативности	x1x2=x2x1;
2. ассоциативности	x1(x2x3)=(x1x2)x3;
3. дистрибутивности	x1(x2x3)=x1x2x1x3;
4. свойство “1”	11=0; x1=x;
5. свойство “0”	0  0=0; x  0=x;
6. сложение по модулю 2	xx=0; x x = 1.
7. переход от дизъюнкци	x1+x2 = x1 x2 x1x2
8. переход от конъюнкции	x1x2 =x 1x2x1x2  1

Задание

1. Для заданного в лабораторной работе №1 цифрового устройства получить аналитическую запись функции f(X), реализуемую исправной схемой. По возможности упростить выражение.

2. На основании полученного выражения для f(X) и одной из заданных неисправностей записать функцию φ(X), реализуемую неисправной схемой.

3. На основании выражения (2.1) записать различающую функцию D(φ) для данной неисправности.

4. С использованием математического аппарата алгебры Жегалкина привести выражение различающей функции к виду полинома (2.2), упростить выражение.

5. Решить уравнение D(φ)=1 и получить множество тестовых наборов для проверки данной неисправности.

6. Повторить пункты 2 – 5 для другой заданной неисправности.

7. Сравнить полученные результаты с результатами, полученными методом существенного пути и сделать выводы.

Содержание отчета: титульный лист, тема, цель, задание, ход работы (две схемы заданного КЦУ с отмеченными неисправностями и все аналитические расчеты по задаче), анализ полученных результатов.

Лабораторная работа №3 Построение тестов цифровых устройств методом булевых производных

Цель: освоить применение аппарата булева дифференциального исчисления для вычисления булевых производных исследуемых логических функций и изучить на практике построение проверяющих тестов КЦУ методом булевых производных.

Теоретические положения Понятие и свойства булевой производной

Булевой производной функции по называется функция:

Булева производная может быть также вычислена и по следующей формуле, эквивалентной предыдущей:

.

Булева производная определяет значения логических переменных x₁,..., x_n (кроме x_i), при которых изменение состояния x_i приводит к изменению значения функции f(x).

Например, для булевой функции , булева производная .

При вычислении булевых производных сложных функций полезны следующие свойства булевых производных:

Важны следующие частные случаи этих формул для функции g, не зависящей от переменной x_i: