Питання для самоперевірки

1. Запишіть загальне рівняння прямої на площині.

2. Запишіть канонічне рівняння прямої на площині та вкажіть геометричний зміст параметрів, що до нього входять.

3. Запишіть рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом і вкажіть геометричний зміст параметрів, що до нього входять.

4. Запишіть умови паралельності та перпендикулярності двох прямих.

5. Запишіть рівняння площини, що проходить через три точки.

6. Як обчислюється відстань від точки до площини.

7. Запишіть канонічне рівняння прямої у просторі та вкажіть геометричний зміст параметрів, що входять до цього рівняння.

8. Запишіть рівняння прямої у просторі, що проходить через дві точки.

9. Який вигляд мають умови паралельності та перпендикулярності прямих у просторі.

10. Запишіть формулу, за якою знаходять кут між прямою у просторі та площиною.

Завдання для самостійної роботи

1. Через точки й проведена пряма. Визначити точки перетину прямої з осями координат.

2. Знайти кут між прямими і .

3. Дано вершини трикутника АВС: А(–2, 4), В(3, 1), С(10, 7). Знайти: а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ; г) точку N перетину медіани АМ і висоти СН; д) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно до сторони АВ; е) відстань від точки С до прямої AB.

4. Скласти рівняння площини, яка проходить через три точки , і .

5. Знайти кут між площинами і .

6. Скласти параметричне рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору .

7. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до площини .

Практичне заняття № 5 з теми “ Функція. Способи завдання функції. Класифікація основних елементарних функцій. Границя функції в точці та на нескінченності. 1-ша та 2-га визначні границі”

5.1 Поняття функції. Способи завдання функції

Нехай та – непусті числові множини, а х та у – відповідно їх елементи.

Якщо кожному елементу за певним законом або правилом поставлено у відповідність деякий цілком визначений елемент , то вважають, що між змінними х та у установлена функціональна залежність; х називають незалежною змінною (або арґументом), а у – залежною змінною ( або функцією).

Множину D називають областю визначення функції та позначають , а множину Е називають областю значень функції та позначають .

Задати функцію – це значить вказати область її визначення і правило, за допомогою якого за даним значенням незалежної змінної знаходять відповідні їй значення функції.

Функцію можна задати одним з чотирьох способів: табличним, аналітичним ( за допомогою формули), словесним та графічним.

Табличний спосіб полягає в тому, що функцію задають у вигляді таблиці в одному рядку (або стовпчику) якої записані значення аргументу, а в другому – відповідні їм значення функції.

При аналітичному способі функція задається формулою, за якою значення обчислюється за заданим значенням .

При словесному завданні функції залежність між х та у описується словесно. Наприклад, “у є найбільше ціле число, яке не перевищує х”. Цю функцію прийнято позначати . Для ; ; .

Більш наочним є графічний спосіб завдання функції. При графічному завданні функції відповідність між арґументом і функцією задають у вигляді графіка функції.

Графіком функції називається множина точок площини, абсцисами яких є допустимі значення арґументу, а ординатами – відповідні їм значення функції.

Функція називається парною (непарною) , якщо значення та виконується рівність ( ).

Функція називається періодичною, якщо , таке, що значення та виконується рівність . Число Т називають періодом функції.

Функція називається зростаючою (спадною), якщо для будь-яких двох значень і арґументу , що належать її області визначення , з нерівності випливає нерівність ( ).

Функція називається неспадною (незростаючою), якщо для будь-яких двох значень і арґументу , що належать її області визначення , з нерівності випливає справедливість співвідношення ( ).

Функції зростаючі, спадні, незростаючі й неспадні називають монотонними. Функції зростаючі й спадні називають строго монотонними.

5.2 Границя функції

Функція має в точці границю , якщо для будь-якого наперед заданого як завгодно малого числа можна знайти таке число , що для всіх відмінних від значень х із області визначення функції, які задовольняють умову , виконується нерівність .

Записують це так: .

Обчислення границь за визначенням пов'язано зі складними перетвореннями виразів. Тому їх здебільшого обчислюють за допомогою властивостей – основних теорем про границі.

1. , де .

2. , .

3. .

4. .

5. , якщо .

Якщо , а , то .

Щоб знайти границю функції, необхідно підставити значення границі до виразу, що стоїть під знаком границі. Якщо в результаті підстановки отримаємо число або нескінченність, то границю визначено.

Розглянемо деякі випадки спрощеного обчислення границь.

1. , де ,

.

Підстановка приводить до невизначеності .

Тоді

2. Якщо при підстановці до виразу приходимо до невизначеності , а і многочлени степеня і , то це означає, що є коренем многочленів чисельника та знаменника.

Для розкриття такої невизначеності необхідно розкласти чисельник і знаменник на множники, та скоротити їх на .

5.3 1-ша та 2-га визначні границі

При обчисленні границь, що містять тригонометричні функції, досить часто користуються формулою, яка має назву першої визначної границі:

(5.1)

Наслідки з неї:

(5.2)

Перша визначна границя дозволяє розкривати невизначеність виду , коли під знаком границі присутні тригонометричні функції.

При обчисленні границі степенево-показникової функції може статись, що . В такому випадку має місце невизначеність виду . Для її розкриття застосовують наслідок з другої визначної границі, яка має вигляд , (5.3)

або для неперервної функції . (5.4)

Наслідки з другої визначної границі:

, , . (5.5)

Приклад 5.1. Знайти .

Розв'язок.

.

Приклад 5.2. .

Якщо в результаті підстановки значення границі до виразу отримаємо одну із невизначеностей , , то їх потрібно розкривати.

Приклад 5.3.

Розв'язок. Тут невизначеність виду . У подібних випадках необхідно в чисельнику і знаменнику винести за дужки найвищий степінь невідомого x і скоротити:

,

або, скориставшись правилом спрощеного обчислення, отримаємо той самий результат.

Приклад 5.4. Знайти вказані границі:

а)

Розв'язок. Підстановка числа х = 1 під знак границі приводить до невизначеності виду . Розкладемо чисельник і знаменник на множники і скоротимо на (х – 1). Скорочення можливе, оскільки (прямує), але .

б)

Розв'язок. Підстановка приводить до невизначеності . Для того, щоб її розкрити, помножимо чисельник і знаменник на вираз, спряжений до чисельника. Після відповідних перетворень можна буде скоротити на

в)

Розв'язок. Маємо невизначеність виду . Помножимо та поділимо вираз під знаком границі на :

=

.

Приклад 5.5. Обчислити границю: а)

Розв'язок. Підставляємо значення границі до виразу:

. Маємо невизначеність виду . При обчисленні границі спираємось на теореми про границі, формули (5.3), (5.4) та виконуємо тотожні перетворення тригонометричних виразів

б) .

Розв'язок. Маємо невизначеність виду . Для того, щоб застосувати, формули (5.3), (5.4) поділимо кожний доданок чисельника та знаменника дробу на х:

Приклад 5.6. Обчислити границю

Розв'язок. Маємо невизначеність . Перетворивши вираз, одержимо

Якщо , при , тоді справедлива рівність:

. (5.8)

Приклад 5.7. Обчислити границю : а) .

Розв'язок. Має місце невизначеність виду . Застосувавши рівність (5.8), отримаємо:

б) .

Розв'язок. Невизначеність виду . Застосувавши рівність (5.8), отримаємо: