Питання для самоперевірки

1. Яка система лінійних рівнянь називається сумісною?

2. Яка система лінійних рівнянь називається визначеною?

3. Обґрунтуйте матричний метод розв'язання систем лінійних рівнянь.

4. Сформулювати правило Крамера розв'язання невироджених систем лінійних рівнянь. До яких рівнянь його можна застосовувати?

5. Обґрунтуйте метод Гауса розв'язання систем лінійних рівнянь.

Завдання для самостійної роботи

1. Розв'язати систему рівнянь: а) за формулами Крамера; б) за допомогою оберненої матриці (матричним методом); в) методом Гауса.

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса:

3. Розв'язати систему рівнянь методом Жордана-Гаусса.

Практичне заняття № 3 з теми “ Скалярні і векторні величини. Лінійні операції над векторами. Кут між векторами. Скалярний добуток векторів і його властивості”

3.1. Скалярні й векторні величини. Визначення вектора

Ті з фізичних величин, що при обраній системі одиниць характеризуються одним числом, називаються скалярними.

Величини, що характеризуються не тільки числом, але і напрямком, називаються векторними величинами.

Вектором називається напрямлений відрізок . Точка позначає початок вектора, точка – його кінець. Тоді вектор має координати:

.

Абсолютною величиною (модулем) вектора називається довжина відрізка, що зображує вектор: .

Два вектори і називають рівними, якщо рівні між собою їхні відповідні координати.

Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній або на паралельних прямих, і компланарними, якщо вони лежать в одній або в паралельних площинах.

Якщо два вектори і колінеарні, то їх координати пропорційні, тобто

3.2. Лінійні операції над векторами

Сумою векторів і називається вектор .

В ектори складаються геометрично за правилом паралелограма. Сума двох векторів і , які мають спільний початок, зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих векторах.

Два вектори, які мають рівні модулі, колінеарні й протилежно напрямлені, називаються протилежними векторами.

Різницею векторів і називається такий третій вектор , який у сумі з вектором дає

Щ об побудувати вектор, рівний різниці векторів і , треба за допомогою паралельного переносу сполучити їх початки. Тоді вектор , початок якого збігається із кінцем вектора , а кінець – із кінцем вектора , і буде різницею векторів і

Добутком вектора на дійсне число  називається вектор . Абсолютна величина вектора  дорівнює . Напрямок вектора  при збігається з напрямком вектора , якщо  > 0, і протилежний напрямку вектора , якщо

3.3 Кут між векторами. Скалярний добуток векторів і його властивості

Кутом між векторами і називається кут між рівними їм векторами зі спільним початком.

Скалярним добутком двох векторів і називається число, що дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними:

Якщо вектори і задані своїми координатами, то .

Скалярний добуток векторів , якщо кут між ними гострий. Скалярний добуток векторів , якщо кут між ними тупий. Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Нехай і , тоді

Скалярний добуток має наступні властивості.

1^о. (комутативність).

2^о. .

3^о. (дистрибутивність).

4^о. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його довжини, тобто .

3.4 Векторний добуток двох векторів і його властивості

Векторним добутком вектора на вектор називається третій вектор, довжина якого чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на двох даних. Цей вектор перпендикулярний до площини паралелограма і спрямований так, що, якщо дивитися з його кінця в основу, то найкоротший поворот від першого вектора до другого відбувається проти ходу годинникової стрілки.

,

де – кут між векторами і .

Якщо вектори задані своїми координатами , , то їхній векторний добуток обчислюється за формулою:

Векторний добуток дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли вектори і колінеарні.

Векторний добуток має наступні властивості.

1^о. .

2^о. .

3^о. (дистрибутивність).

3.5 Мішаний добуток трьох векторів та його властивості

Мішаним добутком трьох векторів , і називається їх векторно-скалярний добуток

Модуль мішаного добутку трьох векторів , і дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах як на сторонах. Одного шоста модуля мішаного добутку дорівнює об’єму піраміди.

Властивості мішаного добутку.

1^о. Мішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю, якщо:

а) хоч один із векторів, що перемножуються, дорівнює нулю;

б) два вектори, які перемножуються, колінеарні;

в) три ненульових вектори паралельні до однієї і тієї ж площини (компланарні).

2^о. .

3^о. .

4^о. , .

Мішаний добуток векторів, заданих координатами , , , визначається формулою

.

Приклад 3.1. Дано вектори . Необхідно: а) обчислити мішаний добуток трьох векторів; б) знайти модуль векторного добутку; в) обчислити скалярний добуток двох векторів; г) перевірити, чи будуть колінеарними або ортогональними два вектора; д) перевірити, чи будуть компланарними три вектора.

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Розв'язок.

а)

б)

в)

.

г) Якщо вектори колінеарні, то їх відповідні координати пропорційні.

Вектори і не колінеарні. Якщо два вектори ортогональні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Виходить, вектори і ортогональні.

д) Якщо три вектори компланарні то їх мішаний добуток дорівнює нулю.

Отже, вектори не компланарні.

Приклад 3.2. Вершини піраміди знаходяться в точках А, В, С, D. Обчислити: а) площу указаної грані; б) площу перетину, що проходить через середину ребра l і дві вершини піраміди; в) об'єм піраміди АВСD.

А(2, 2, 2), В(4, 3, 3), С(4, 5, 4), D(5, 5, 6)

а) ; б) l = АВ, С і D.

Розв'язок.

а) Грань піраміди АВСD є трикутником АВС. Знаходимо вектори і

,

Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і , тому знаходимо векторний добуток цих векторів

=

Отже,

(кв. од.)

б) Знайдемо координати середини ребра l = АВ. Це точка К з координатами

Перетин є трикутник . Знаходимо вектори і

,

=

(кв. од.)

в) Знайдемо вектори , , , які утворюють ребра піраміди, що сходяться в вершині А:

, , .

Знаходимо змішаний добуток цих векторів:

  =

Об'єм піраміди дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , , , тому (куб. од.)