1. Первое достаточное условие экстремума.

Теорема 9.1. Пусть

- точка с является точкой возможного экстремума функции f(x),

- f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с.

Тогда, если в пределах указанной окрестности слева от точки с и справа от точки с, то функция f(x) имеет в точке с локальный максимум (минимум). Если же f'(x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в точке с нет.

Доказательство.

1). Пусть слева от точки с и справа от с. Обозначим x₀ ≠ c любое значение аргумента из рассматриваемой окрестности. Достаточно доказать, что

Функция f(x) дифференцируема (а следовательно, непрерывна) на сегменте . По формуле Лагранжа (формула конечных приращений)

(1)

где ξ лежит между c и x₀. Т.к. при и при , то правая часть (1) положительна (отрицательна).

2). Пусть теперь f'(x) имеет один и тот же знак слева и справа от c. Обозначая через x₀ любое значение аргумента, отличное от c, и повторяя проведенные выше рассуждения, мы докажем, что правая часть (1) имеет разные знаки слева и справа от с. Это доказывает отсутствие экстремума в точке с.

Теорема доказана.

Вытекающее из Теоремы 9.1 правило

1). Если при переходе через данную точку с возможного экстремума производная f'(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция f(x) имеет в точке с локальный максимум (минимум).

2). Если же при переходе через данную точку с возможного экстремума производная f'(x) не меняет знака, то экстремума в точке с нет.

Пример.

, x = 2 - точка возможного экстремума. Т.к. как слева, так и справа от x = 2, то экстремума в этой точке нет.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.

Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках.

Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]:

1. Найти все критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках.

2. Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b.

3. Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

20 Второе и третье достаточные условия экстремума.

2. Второе достаточное условие экстремума.

Теорема 9.2. Пусть функция f(x) имеет в данной точке с возможного экстремума конечную вторую производную.

Тогда f(x) имеет в точке с максимум, если , и минимум, если .

Доказательство. Из условия и из Теоремы 8.9 (Теорема 8.9. Если функция f(x) дифференцируема в точке с и , то эта функция возрастает (убывает) в точке с.) вытекает, что f'(x) убывает (возрастает) в точке с. Поскольку по условию f'(с) = 0, то найдется такая окрестность точки с, в пределах которой слева от с и справа от с. Тогда по Теореме 9.1 f(x) имеет в точке с максимум (минимум).

Теорема доказана.

Замечание. Теорема 9.2 имеет более узкую сферу действия, чем Теорема 9.1, т.к. не решает вопрос об экстремуме для случая, когда не существует в точке с, а также .

Пример.

- точки возможного экстремума.