Завдання 3
Обчислити інтеграл за формулою трапецій з трьома десятковими знаками.
Обчислити інтеграл за формулою Сімпсона при
;
оцінити похибку результату, склавши
таблицю скінченних різниць.
Варіанти до завдання 3
№1 |
1)
|
2)
|
№2 |
1)
|
2) |
№3 |
1)
|
2) |
№4 |
1)
|
2) |
№5 |
1)
|
2) |
№6 |
1)
|
2) |
№7 |
1)
|
2) |
№8 |
1)
|
2) |
№9 |
1) ; |
2) |
№10 |
1)
|
2) |
№11 |
1)
|
2) |
№12 |
1)
|
2) |
№13 |
1)
|
2) |
№14 |
1)
|
2) |
№15 |
1)
|
2) |
№16 |
1)
|
2) |
№17 |
1)
|
2) |
№18 |
1)
|
2) |
№19 |
1)
|
2) |
№20 |
1)
|
2) |
№21 |
1)
|
2) |
№22 |
1)
|
2) |
№23 |
1)
|
2) |
№24 |
1)
|
2) |
№25 |
1)
|
2) |
№26 |
1)
|
2) |
№27 |
1)
|
2) |
№28 |
1)
|
2) |
№29 |
1)
|
2) |
№30 |
1)
|
2)
|
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
Приклад виконання завдання 1)
|
;
2)
.
Для досягнення ступеня точності необхідно визначити значення так, щоб
. (1)
Тут
,
де
.
Знаходимо
;
Покладемо
,
тоді нерівність (1) прийме вигляд
,
звідки
,
тобто
;
візьмемо
.
Обчислення інтеграла робимо за формулою
,
де
Усі розрахунки наведено в таблиці:
|
|
|
|
0 |
1,2 |
0,46423 |
|
1 |
1,5 |
|
0,42284 |
2 |
1,8 |
|
0,39406 |
3 |
2,1 |
|
0,36250 |
4 |
2,4 |
|
0,33408 |
5 |
2,7 |
0,30875 |
|
|
|
0,77298 |
1,51348 |
Таким чином,
.
Відповідно до умови , тому
.
,
де
.
Обчислені значення функції заносимо в таблицю:
|
|
|
|
|
0 |
1,6 |
2,59889 |
|
|
1 |
1,7 |
|
2,67750 |
|
2 |
1,8 |
|
|
2,72677 |
3 |
1,9 |
|
2,74427 |
|
4 |
2,0 |
|
|
2,72789 |
5 |
2,1 |
|
2,67595 |
|
6 |
2,2 |
|
|
2,58719 |
7 |
2,3 |
|
2,46083 |
|
8 |
2,4 |
2,29657 |
|
|
|
|
4,89546 |
10,55855 |
8,04185 |
Отже,
Для оцінки точності отриманого результату складемо таблицю скінченних різниць четвертого порядку:
|
|
|
|
|
|
0 |
2,59889 |
|
|
|
|
0,07861 |
|
||||
1 |
2,67750 |
–0,02934 |
|
||
0,04927 |
-0,00243 |
||||
2 |
2,72677 |
–0,03177 |
0,00032 |
||
0,01750 |
-0,00211 |
||||
3 |
2,74427 |
–0,03388 |
0,00043 |
||
-0,01638 |
-0,00168 |
||||
4 |
2,727789 |
–0,03556 |
0,00042 |
||
-0,05194 |
-0,00126 |
||||
5 |
2,67595 |
–0,03682 |
0,00038 |
||
-0,08876 |
-0,00088 |
||||
6 |
2,58719 |
–0,03760 |
0,00058 |
||
-0,12636 |
-0,00030 |
||||
7 |
2,46083 |
–0,03790 |
|
||
-0,16426 |
|
||||
8 |
2,29657 |
|
|
||
|
|
Оскільки
,
то залишковий член формули є:
.
Оскільки обчислення проводилися з п’ятьма значущими цифрами, то для того, щоб величина залишкового члена не впливала на похибку обчислення необхідно залишити 4-ри цифри після коми:
.
Похибку обчислення можна оцінити співвідношенням:
.
Тому, правильні 3-ри одержані цифри після коми.