4. Числове диференціювання та інтегрування

4.1 Теоретичні відомості

Формули числового диференціювання

а) які ґрунтуються на першій інтерполяційній формулі Ньютона (для , які знаходяться на початку таблиці):

,

,

де ;

б) які ґрунтуються на першій формулі Гаусса (для , які знаходяться всередині та на кінці таблиці):

,

;

в) які ґрунтуються на другій формулі Гаусса:

,

;

г)які ґрунтуються на формулі Стирлінга (для , які знаходяться всередині та на кінці таблиці):

,

;

д) які ґрунтуються на формулі Бесселя (для , які знаходяться всередині та на кінці таблиці):

,

.

Формули числового інтегрування.

а) Нехай відрізок інтегрування розбито на частин з кроком . Тоді:

(формула лівих прямокутників);

(формула правих прямокутників);

(формула середніх прямокутників),

де .

Залишкові члени цих формул відповідно дорівнюють

,

,

,

де .

б) Формула трапецій:

,

де , причому

.

в) Формула Сімпсона (формула парабол) (число - обов’язково парне):

,

причому

.

в) Формула Ньютона (формула “трьох восьмих”):

,

де

число розбиттів повинне бути кратним трьом.

Інтеграли з нескінченними межами

1. Метод зрізу. Для того, щоб наближено обчислити збіжний невласний інтеграл

з точністю до ε, представляють його у вигляді

,

де b вибирають настільки великим, щоб мала місце нерівність

.

Після цього визначений інтеграл

обчислюється за однією з квадратурних формул з точністю до ε/2 і наближено покладають

Приклад 6.1. Обчислити наближено інтеграл

з точністю до ε = 10^-2.

Розв’язування. Вибираєм число b так, щоб виконувалась нерівність

< .

Зазначивши, що

<

вибираємо b із умови

= ,

звідки одержуємо b=10. Наближено приймаємо

і обчислюємо одержаний визначений інтеграл з точністю до за формулою Сімпсона. В якості кроків розрахунку виберемо h₁=1, h₂=2.

Результати обчислень занесено в табл. 6.1. В останньому рядку наведено суми і , за допомогою яких обчислюємо наближені значення інтеграла. При кроці h₁=1 одержуємо І₁= при кроці h₂=2 одержуємо І₂= . Ці значення відрізняються менше, ніж на .

Тому остаточно маємо

= 0,12.

Таблиця 6.1

Обчислення інтеграла і за формулою Сімпсона

k	xk	1+x3	yk	mk	mk’
0	2,0	9	0,1111	1	1
1	3,0	28	0,0357	4
2	4,0	65	0,0154	2	4
3	5,0	126	0,0079	4
4	6,0	217	0,0046	2	2
5	7,0	344	0,0029	4
6	8,0	513	0,0020	2	4
7	9,0	730	0,0014	4
8	10,0	1001	0,0010	1	1
Суми				0,3477	0,1809