2. Методи розв'язування нелінійних рівнянь

2.1 Теоретичні відомості

Метод проб (половинного поділу або дихотомії): Якщо корінь рівняння належить відрізку ,тобто , то його ділять навпіл: та . Якщо , то - корінь рівняння. Якщо , то вибирають ту половину, на якій знаки різні і позначають її через (виконується умова ). Ітераційний процес (поділ) продовжують до тих пір, поки довжина відрізка не стане меншою заданої точності . Його припиняють і тоді, коли поблизу кореня значення функції виявляться порівнюваними з .

Метод хорд: а) Якщо на , то

(причому ).

На рис.1 наведено геометричну інтерпретацію умови : як потрібно проводити хорди, точки перетину яких з віссю дають - наближення точного значення кореня .

f(x)

а)

f(x)

б)

Рис. 1

б) Якщо на , то

(причому

).

На рис.2 наведено геометричну інтерпретацію умови : як потрібно проводити хорди, точки перетину яких з віссю дають - наближення точного значення кореня .

f(x)

а)

f(x)

б)

Рис. 2

Метод Ньютона (метод дотичних): ,

причому , якщо .

На рис.3 наведено геометричну інтерпретацію умови : як потрібно проводити дотичні, точки перетину яких з віссю дають - наближення точного значення кореня .

f(x)

f(x)

а) б)

Рис. 3

Якщо на , то

На рис.4 наведено геометричну інтерпретацію умови : як потрібно проводити дотичні, точки перетину яких з віссю дають - наближення точного значення кореня .

f(x)

f(x)

а) б)

Рис. 4

Видозмінена формула: .

Комбінований метод хорд і дотичних. Нехай і - наближені значення кореня з недостачею і з надлишком відповідно.

а) Якщо на , то

(причому , ).

На рис.5 наведено геометричну інтерпретацію умови : як потрібно проводити дотичні і хорди, точки перетину яких з віссю дають та - наближення, відповідно, з недостачею та надлишком точного значення кореня .

f(x)

f(x)

а) б)

Рис. 5

б) Якщо на , то

(причому , ).

На рис.5 наведено геометричну інтерпретацію умови : як потрібно проводити хорди і дотичні, точки перетину яких з віссю дають та - наближення, відповідно, з недостачею та надлишком точного значення кореня .

f(x)

f(x)

а) б)

Рис. 6

2.2 Приклади роз’язування завдань та завдання для самостійної і домашньої робіт Завдання 1.

1. Відокремити корені аналітично.

2. Відокремити корені аналітично і уточнити один з них методом проб з точністю .

3. Відокремити корені графічно.

4. Відокремити корені графічно і уточнити один з них методом проб з точністю .

Варіанти до завдання 1

№1 1) ; 2) ; 3) ; 4)	№2 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
№3 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	№4 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
№5 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	№6 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
№7 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	№8 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
№9 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	№10 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
№11 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	№12 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
№13 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	№14 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
№15 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	№16 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
№17 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	№18 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
№19 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	№20 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
№21 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	№22 1) ; 2) 3) ; 4) .
№23 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	№24 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
№25 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	№26 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
№27 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	№28 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
№29 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	№30 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Приклад виконання завдання 1. а) , 1. б) ; 2) ; 3) ; 4) .

1. а) Позначимо . Знаходимо похідну . Обчислимо корінь похідної: . Оскільки , то останнє рівняння коренів не має.

Оскільки О.Д.З. рівняння є: , то функція може мати не більше як по одному корені на кожному із проміжків і .

Знайдемо проміжки, які містять корені, так щоб їх довжина не перевищувала „1”. Для цього складемо таблицю знаків функції :

	–	–	–	–	+	–	+	+	+	+

З таблиці видно, що корені містяться у наступних проміжках:

1. б) Позначимо . . Знаходимо похідну . . Обчислимо корінь похідної: ; ; .