2. Графическое решение простейших задач линейного программирования

Пример 2.1. Решить графически задачу линейного программирования

(2.1)

Решение. Строим область допустимых решений. Для этого строим граничные прямые и определяем полуплоскости, координаты точек которых удовлетворяют неравенствам-ограничениям.

Р ассмотрим первое ограничение . Строим прямую как прямую в отрезках (если она не проходит через начало координат) по двум точкам: , и , . Берём произвольную точку, не лежащую на этой прямой, например, О(0,0). Подставляем её координаты в первое ограничение. Если неравенство в этой точке выполняется, то первое ограничение определяет полуплоскость, которая содержит выбранную точку, если нет, то оно определяет полуплоскость, в которой не лежит выбранная точка. В точке О(0,0) неравенство выполняется: следующим образом . Поэтому первое ограничение определяет полуплоскость, расположенную ниже прямой . На рисунке это отмечено двумя стрелками .

Аналогично поступаем с остальными тремя ограничениями. Результаты вычислений запишем таблицей.

Таблица 2.1

Прямая	Уравнение прямых	Точки на прямых	Точка  прямой	Знак неравенства в этой точке	Принадлежность точки полуплоскости с ОДЗ
		(0,3) (-9,0)	О(0,0)	-0+0 9	О принадлежит
		(0,6) (9,0)	О(0,0)	20+30 18	О принадлежит
		(0, -10) (7,4)	О(0,0)	20-010	О принадлежит
		(0,0) (2,4)	М(0,5)	-50	М не принадлежит

Выделяем одз — пятиугольник oabcd. Строим вектор – направление наибольшего возрастания функции z.

Строим прямую  вектору . Можно строить прямую 4x₁+2x₂=0.

Перемещаем эту прямую в направлении вектора , если задача на max, и в противоположном направлении, если задача на min, пока она не станет опорной к ОДЗ. Она становится опорной в точке C.

Рис. 2.1

Находим координаты точки С:

Ответ. Z_max=Z*= 4·6+2·2=28, X*=(4,6).

Замечание. в точке О(0,0).

Пример 2.2. Решить графически задачу линейного программирования:

(2.2)

Решение полностью аналогично предыдущему примеру. Поэтому сделаем чертёж без объяснений.

Рис. 2.2

Так как отрезок АВ  вектору , то максимальное значение функция принимает во всех точках отрезка АВ. Запишем это решение как выпуклую комбинацию точек А и В.

.

.

.

Замечание. Если бы целевая функция имела вид , то она принимала бы минимальное значение во всех точках луча АС. В этом случае , .

Выпишем алгоритм графического решения злп

1. Записать уравнения граничных прямых и построить их на плоскости х₁0х₂.

2. Определяем полуплоскости, которые соответствуют каждому ограничению – неравенству с помощью контрольной точки.

3. Выделяют ОДЗ.

4. Строят вектор – направление наибольшего возрастания функции Z. .

5. Строят прямую  вектору , она называется линией уровня или изоцелью.

6. Перемещают эту прямую в направлении вектора , если задача на max, и в противоположном направлении, если задача на min, пока она не станет опорной к ОДЗ.

7. Вычисляют координаты оптимальной точки и оптимальное значение функции Z.