6. Транспортная задача

Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов

1. Проверяется открытая или закрытая модель. Если задача открытая, то вводят фиктивного поставщика или фиктивного потребителя с нулевыми тарифами перевозок.

2. Составляют начальный опорный план (первоначальное распределение).

3. Проверяют на вырожденность (заполненных клеток должно быть m+n–1).

4. Находят потенциалы.

5. Находят оценки оптимальности незаполненных клеток.

6. Если есть ″неблагоприятные″ клетки, то для клетки с наибольшей оценкой строят цикл, определяют величину перераспределения и заполняют новую таблицу.

7. Если все свободные клетки имеют оценки , то оптимальное решение задачи найдено. Если все оценки незанятых клеток , то оптимальный план единственный. Если некоторые оценки в оптимальном плане незанятых клеток = 0, то план не единственный. Эти клетки можно сделать занятыми, а общая стоимость перевозки не изменится.

Пример 6.1 . Решить транспортную задачу.

Таблица 6.1

bj ai	120	80	300
150	4	1	3
50	2	0	1
200	3	5	6

Решение.

1. Проверяем наличие закрытости транспортной модели.

Задача называется закрытой, если

a₁ +a₂ +…+a_m= b₁+ b₂ +…+b_n. (6.1)

Если a₁ +a₂ +…+a_m b₁+ b₂ +…+b_n, то задача называется открытой.

В нашем случае

,

.

Задача открытая.

Вводим фиктивного поставщика с запасом груза равным 500 – 400=100 и тарифами перевозок равными нулю. Для этого в матрицу транспортной задачи вводим дополнительную строку, соответствующую фиктивному поставщику с и .

Таблица 6.2

bj ai	120	80	300
150	4	1	3
50	2	0	1
200	3	5	6
100	0	0	0

2. Методом северо-западного угла находим начальный опорный план. Сущность метода северо-западного угла состоит в том, что максимально возможные поставки последовательно вводятся в северо-западную клетку таблицы.

У первого поставщика берём 120 ед. груза и даём его первому потребителю. Оставшиеся 30 ед. груза даём второму потребителю. Второму потребителю надо ещё 50 ед. груза. Его берём у второго поставщика. Первый и второй потребители полностью удовлетворены в своих потребностях. Весь груз первого и второго поставщиков распределён. 200 ед. груза даём третьему потребителю от третьего поставщика и 100ед. груза от фиктивного четвёртого поставщика. Проверяем баланс по каждой строке и каждому столбцу.

Таблица 6.3

0		50,0			100,0
bj ai	120			80			300
150			4			1			3	30,0
	120			30
50			2			0			1	50,0
				50
200			3			5			6	200,0
							200
100			0			0			0	0
							100

Z(X₁) = 120·4+30·1+50·0+0·1+200·6+100·0= 1710.

3. Проверяем вырожденность. Заполненных клеток должно быть m+n–1=4+3–1=6. Мы получили пять заполненных клеток. В одну незаполненную клетку (2,3) ставим 0 и считаем ее заполненной. Нельзя ставить 0 лишь в клетке (2,1). Все заполненные клетки должны соединяться ломаной с горизонтальными и вертикальными звеньями с угловыми точками лишь в заполненных клетках.

4. Находим потенциалы. Каждому поставщику и потребителю ставим в соответствие числа, чтобы их сумма равнялась тарифам соответствующих заполненных клеток.

(6.2)

Таблица 6.4

bj ai	120		80		300		ui
150		4		1		3
	1 20		30		[–1]		u1=0
50		2		0		1
	[1]		50		0*		u2 = – 1
200		3		5		6
	[5]		[0]		200		u3 = 4
100		0		0		0
	[2]		[–1]		100		u4 = –2
vj	v1 = 4		v2 = 1		v3 = 2

Получили систему из пяти уравнений, она неопределённая, то есть имеет бесконечное множество решений. Один из потенциалов приравниваем к нулю, а остальные находятся однозначно из условия (6.2). Пусть . Тогда из первого уравнения находим , из второго – и т.д. Систему можно не выписывать, а значения потенциалов находить непосредственно в таблице.

5. Находим оценки незаполненных клеток:

, (6.3)

₁₃= 2+0 –3= – 1<0, ₂₁ = 4–1 –2= 1>0, ₃₁= 4+4 –3= 5>0,

₃₂ = 4–+1 –5= 0, ₄₁ = 4–2 –0= 2>0, ₄₂= 1–2 –0= – 1<0.

Значения оценок также находим без дополнительных вычислений непосредственно в таблице. Их значения записываем в клетках таблицы в нижнем левом углу. Величины груза выделены жирным шрифтом, а значения оценок выделены квадратными скобками.

План не оптимален. Переходим к новому опорному плану. Наиболее ″неблагоприятная″ клетка (3,1). Оценка 5 в клетке (3,1) показывает, что если в эту клетку поместить единицу груза, то стоимость перевозок уменьшится на пять единиц. Действительно, для сохранения баланса с клетки (3,3) необходимо отнять единицу груза, в клетку (2,3) необходимо прибавить единицу груза, с клетки (2,2) необходимо отнять единицу груза, в клетку (1,2) необходимо добавить единицу груза, с клетки (1,1) необходимо отнять единицу груза. Стоимость перевозки при этом будет изменятся на 3-6+1-0+1-4=-5 единиц.

Для клетки (3,1) строим цикл пересчёта (цепочку перераспределения). Циклом для незаполненной клетки называется последовательность заполненных клеток, в которые поочерёдно добавляется и вычитается груз для сохранения баланса, если в незаполненную клетку поместить некоторый груз. Определяем груз ρ, который будем перемещать по циклу. По циклу перемещаем груз равный минимуму грузов, стоящих в клетках, в которых груз вычитается от объемов в клетках.

30+ρ

120–ρ

0+ρ

50–ρ

+ ρ

200–ρ

ρ = min(120,50,200)=50.

6. Составляем новую таблицу. Так как в клетку будем ставить груз равный 50 единицам, то значение целевой функции во втором плане уменьшится на 5·50=250, то есть Z(X₂)=1710-5·50=1460.

Таблица 6.5

bj ai	120		80		300		ui
150		4		1		3
	70		80		[4]		u1=0
50		2		0		1
	[-4]		[-5]		50		u2 = – 6
200		3		5		6
	50		[-5]		150		u3 = -1
100		0		0		0
	[-3]		[–6]		100		u4 = –7
vj	v1 = 4		v2 = 1		v3 = 7

Z(X₂)=1710-250 =1460 или Z(X₂)=70·4+80·1+50·1+50·3+150·6=1460.

Второй план также не оптимален, так как имеется положительная оценка свободной клетки. ″Неблагоприятная″ клетка (1,3). Для этой клетки составляем цепочку перераспределения и определяем груз, который будем перемещать по этой цепочке.

+ρ

70–ρ

150–ρ

50 + ρ

ρ = min(70,150)=70.