Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность не равных нулю чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Это постоянное число называется знаменателем прогрессии. Члены геометрической прогрессии будем обозначать через b₁, b₂, b₃,…,b_n,…, знаменатель прогрессии - через q. Таким образом:

b₁,

b₂=b₁q;

b₃=b₂q=b₁q²

b₄=b₃q=b₁q³

…..

Примеры

1. Последовательность чисел 1; 0,1; 0,01; 0,001;… суть геометрическая прогрессия со знаменателем q=0,1 и b₁=1.

2. Последовательность чисел 1, 10, 100, 1000,… суть геометрическая прогрессия со знаменателем q=10 и b₁=1.

3. Последовательность чисел 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 –геометрическая прогрессия со знаменателем q=2 и b₁=2 (по-другому эту последовательность можно записать так: 2, 2², 2³, 2⁴, 2⁵, 2⁶, 2⁷, 2⁸, 2⁹, 2¹⁰).

Покажем, что член геометрической прогрессии с номером n можно вычислить по формуле:

b_n=b₁q^n-1

Эту формулу докажем также методом математической индукции.

а) b₁=b₁q⁰=b₁, следовательно, для n=1 формула верна;

б) Пусть для значения k выполняется: b_k=b₁q^k-1. Покажем, что формула будет верна и для следующего натурального числа k+1. Воспользуемся тем, что:

b_k+1=b_k q по определению геометрической прогрессии и

b_k=b₁q^k-1 согласно б).

Следовательно, b_k+1=b_kq=b₁q^k-1q=b₁q^k и формула верна для всех натуральных n.

Тем самым, для того, чтобы задать геометрическую прогрессию достаточно задать ее первый член b₁ и ее знаменатель q.

Геометрическая прогрессия, у которой |q|<1 (каждый следующий член по модулю меньше предыдущего), называется убывающей, а если |q|>1, то она называется возрастающей (каждый следующий член по модулю больше предыдущего). Например, последовательность 2, 2², 2³, 2⁴,…, 2ⁿ,… - возрастающая геометрическая прогрессия, у которой b₁=2, q=2; последовательность 1, 0,1; 0,01; 0,001;…, (10)^-n,… - убывающая геометрическая прогрессия, у которой b₁=1, q=0,1.

Примеры решения задач

1.Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320?

Решение:

Обозначим через x первоначальное количество инфузорий. После 1-ого деления их стало 2х, после второго 22x, после третьего 222x, и т.д., после шестого 2⁶х=64х=320. Отсюда х=5, т. е. с самого начала было 5 инфузорий.

2. Частота колебаний каждой конкретной ноты (до, до диез, ре, ми бемоль, ми и т.д. – всего 12 нот) при переходе к следующей октаве увеличивается вдвое. Октава делится на 12 равных интервалов-полутонов. Частота каждого последующего звука больше частоты предыдущего в 1,0595 раз (корень степени 12 из числа 2 можно извлечь с помощью таблиц или инженерного калькулятора). Во сколько раз нота ми выше ноты до той же октавы?

Решение:

Нота ми выше ноты до той же октавы на 4 полутона (2 черные клавиши и 2 белые). Следовательно, ее частота выше частоты ноты до в ≈1,0595⁴1,26 раз.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

(формула также легко доказывается методом математической индукции, желающие могут в качестве упражнения провести доказательство самостоятельно).

Пример

Согласно древней легенде индийский царь Шерам был восхищен новой игрой – шахматами и предложил ее изобретателю мудрецу Сете любую награду. Сете попросил плату пшеницей, исходя из следующего расчета: за первую клетку заплатить одно зерно, за вторую – 2 зерна, за третью 4 зерна и т.д. – за каждую следующую клетку дать в 2 раза больше зерен, чем за предыдущую. Сколько зерен попросил Сете?

Решение:

Последовательность чисел – число зерен на клетке, является геометрической прогрессией, для которой b₁=1, q=2. Надо найти S_n для n=64. Подставляем в формулу.

S₆₄=(2⁶⁴-1):(2-1)=2⁶⁴-1.

Для того, чтобы оценить эту величину, вспомним, что 2¹⁰=102410³, 2⁴=16, следовательно, 2⁶⁴-1(10³)⁶16=10¹⁹1,6. Для вычисления точного значения этого числа нельзя воспользоваться калькулятором, так как это число содержит 20 цифр, а калькулятор содержит только 8 первых точных цифр. Можно вычислить, что если бы такое число зерен рассыпать равномерно по всей земной суше, то образовался бы слой пшеницы толщиной около 9 мм.

Рассмотрим последовательность, члены которой суть разность соседних членов геометрической прогрессии:

c₁ =b₁-b₂=b₁(1-q)

c₂ =b₂-b₃=b₂(1-q)=b₁q(1-q)=b₁(1-q)q=c₁q

c₃ =b₃-b₄=b₃(1-q)=b₁q²(1-q)=b₁(1-q)q²=c₂q=c₁q²

………

с_n=b_n-b_n+1 =c_n-1q₌c₁q^n-1 (легко доказать методом полной индукции)

Разность соседних членов геометрической прогрессии, таким образом, есть также геометрическая прогрессия, первый член которой равен разности 2-х первых членов первой прогрессии b₁(1-q), а знаменатель совпадает со знаменателем первой прогрессии, то есть равен q.

Сумма S_n первых n членов такой прогрессии равна:

Заметим, что разность членов арифметической прогрессии есть величина постоянная, равная разности арифметической прогрессии d (вырожденная прогрессия).