Глава 9: Функции и графики 103

Понятие функции 103

Элементарные функции 104

Операции над графиками двух функций 106

Уравнение прямой на плоскости 107

Изменение уравнения линии при изменении системы координат 107

Глава 10: Конические сечения (коники). Кривые 2-го порядка 111

Гипербола 111

Парабола 111

Эллипс как сжатая окружность. Каноническое уравнение эллипса 113

Построение овала с помощью циркуля и линейки. Характеристический прямоугольник. Фокусы эллипса 113

Эксцентриситет эллипса и параболы 115

Конические сечения 117

Кривые второго порядка 117

Проекции и конические сечения 118

Поверхности второго порядка в пространстве 118

Шары, эллипсоиды, конусы, цилиндры, параболоиды, гиперболоиды 119

Прямолинейные образующие 120

Глава 11: Непрерывность функции. Производная и кривизна 122

Понятие предела 122

Непрерывность функции. Точки разрыва функции 123

Производная и ее геометрический смысл 124

Основные правила дифференцирования 124

Производные высших порядков 125

Роль производных в приближенных вычислениях 125

Производная и скорость изменения функции. Скачок производной 125

Знак производной и монотонность функции. Обращение производной в ноль 126

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба 129

Выпуклые, вогнутые и кровли с перегибом 129

Кривизна дуги 131

Глава 12: Интегральное исчисление 133

Неопределенный интеграл 133

Основные методы интегрирования 133

Определенный интеграл. Задача о площади 134

Вычисление определенного интеграла 135

Вычисление длин дуг. 136

Вычисление площади и длины дуги в полярных координатах 136

Вычисление длины окружности и площади круга и эллипса 136

Объем тела вращения 137

Площадь поверхности вращения 137

Ответы к задачам 140

Приложение 142

Таблица значений тригонометрических функций 142

Курсовое задание 143

Глава 1 Проценты

Напомним некоторые понятия и формулы.

Рациональными числами называются числа вида m/n, где m и n целые. Если n=1, рациональное число m/n является целым.

Пусть m и n – любые действительные числа и a>0, b>0. Тогда:

а⁰=1; a^maⁿ=a^m+n; (ab)ⁿ= aⁿbⁿ; (a^m)ⁿ=a^mn

.

Понятие процента

Процент в переводе с латыни (pro cento) означает "сотая часть". Сотая часть от доллара так и называется - cent (по-русски – цент). Сотая часть от числа а это . Следовательно, р% от числа а - это число . Проценты используют тогда, когда важны не абсолютные, а относительные изменения величины. В процентах выражают точность значений.

Рассмотрим пример. Длину двух предметов измеряли с точностью до 1см. Абсолютная точность измерения обеих величин (1см) одинаковая. Но если измеряли предмет, имеющий длину больше 10м, то на такую ошибку, скорее всего, можно не обращать внимания, а если его длина около 10см, то ясно, что надо изменить способ измерения. При принятии решения о приемлемости примененного способа измерения мы интуитивно руководствовались значением относительной величины погрешности измерения. 1см составляет тысячную часть от 10м (0,1%) и десятую часть от 10см (10%).

Дадим точное определение употребленных нами понятий.