«Золотая» прогрессия. «Золотые» модулеры

В силу подобия бесконечная последовательность пятиконечных звезд порождает бесконечную последовательность отрезков, длины которых образуют геометрическую прогрессию с множителем Ф. Продолжение процесса внутрь, соответственно, порождает бесконечную геометрическую прогрессию с множителем . Выпишем эту прогрессию в виде:

…ⁿ,…, ³, ², , 1, Ф, Ф², Ф³,…, Фⁿ,…

и в числовой форме:

…0,090; 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854;…

Мы получили бесконечную последовательность, в которой каждый член больше предыдущего в Ф раз. В силу соотношения Ф²=1+Ф эта последовательность обладает следующим свойством: каждый ее член равен сумме 2-х предшествующих ему членов - если мы, начиная с любого места, перенумеруем члены последовательности и присвоим им обозначения u_n, то u_n=u_n-1+u_n-2.

Действительно, u_n-1=u_n-2Ф и Ф²=1+Ф, следовательно:

u_n-1+u_n-2=u_n-2Ф+u_n-2=u_n-2(1+Ф)=u_n-2Ф²=u_n.

Свойство u_n=u_n-1+u_n-2 позволяет, не прибегая к вычислениям, строить все члены этой последовательности, если известны значения только 2-х любых соседних членов. Например, мы знаем значения u₁=1 и u₂=Ф. Значения следующих членов: u₃=Ф²=1+Ф, u₄=Ф³=u₂+u₃=Ф+Ф²,…

Построим шкалу, основанную на "золотой" пропорции, выбрав в качестве единичного некоторый, вообще говоря произвольный, отрезок. Для этого проведем горизонтальную прямую и отметим на ней точки А_1, А₂, А₃,…, расстояния между которыми равны 1, Ф, Ф²,… Для того, чтобы построить отрезок длины Ф² достаточно сложить отрезки длины 1 и Ф. Для того, чтобы построить следующий отрезок, надо сложить отрезки Ф и Ф² и т.д.

А₁А₂:А₂А₃:..=В₁В₂:В₂В₃:..=С₁С₂:С₂С₃:..=М₁М₂:М₂М₃:М₃М₄…

Эту шкалу можно настроить на любую единицу измерения. Для этого надо через точки, отмечающие деления шкалы, провести пучок прямых с центром V (рис. 11а). Эти прямые, пересекая горизонтали, порождают новые шкалы. Эти шкалы в силу теоремы о подобных треугольниках будут также основаны на "золотой" пропорции, но с единичным отрезком другой длины.

Подобрав горизонталь так, чтобы М₁М₂ был равен отрезку, который мы хотим иметь в качестве единичного, и проведя через его конец горизонтальную прямую, получим "золотую" шкалу с выбранным нами единичным отрезком (рис. 11).

Задача, которую помогает решить построенный нами универсальный "золотой" модулер. Задан отрезок, разделенный в некотором отношении. Является ли это отношение "золотым"? Решение. Найдем уровень, на котором левый конец заданного отрезка касается вертикали, а правый касается прямой VA₃. На рисунке 11 отрезок в этом положении выделен более жирным окрасом. Если точка N₂ попадает на прямую VA₂, то деление – в "золотом" отношении. На нашем рисунке показано, что отношение очень близко к "золотому".

Справа на рисунке 11 изображен золотой модулер, содержащий последовательность отрезков, длины которых образуют геометрическую прогрессию с множителем =0,618. В качестве упражнения проставьте выражения для этих длин на рисунке.

Стороны пятиугольника и десятиугольника, вписанные в одну и ту же окружность радиуса R, связаны соотношением: а₅²=R²+a₁₀². То есть сторона пятиугольника равна гипотенузе прямоугольного треугольника, катеты которого равны R и R, и (R≈0,85a₅). Тем самым, она равна диагонали "золотого" прямоугольника, у которого большая сторона равна радиусу окружности, в которую вписан пятиугольник.

Это позволяет с помощью теоремы о подобных треугольниках по заданной стороне пятиугольника получить радиус описанной окружности. Для этого достаточно построить любой «золотой» прямоугольник, на прямой, соединяющей его вершины, расположенные на диагонали, отложить требуемую длину стороны пятиугольника и опустить перпендикуляр на горизонталь (рис. 12а). Полученный горизонтальный отрезок - радиус окружности, с помощью которой надо строить пятиугольник. А можно просто построить любой правильный пятиугольник и увеличить его до нужного размера с помощью гомотетии (рис. 12б).

Аналогично можно, применив принцип подобия, использовать в качестве "золотого" модулера половину "золотого" прямоугольника - прямоугольный треугольник со сторонами 1 и Ф. Если отложить по горизонтали некоторый отрезок, то вертикаль, восставленная из конца отрезка до пересечения с гипотенузой будет иметь длину в Ф раз меньшую. А можно по длине вертикали найти длину горизонтали в Ф раз большую (рис. 12в).

Архитекторы с давних времен для получения отрезков, находящихся в заданном пропорциональном соотношении, пользуются пропорциональным циркулем. Он состоит из двух равных по длине ножек, скрепленных винтом (рис. 12г). Если винт разбивает ножки в отношении a:b, то в таком же отношении будут находиться измеряемые им отрезки c и d: .

При раскопках найдено по крайней мере четыре пропорциональных циркуля, - Помпейский пропорциональный циркуль с соотношением 90:561.607, 2 пропорциональных циркуля с соотношением 2:1, пропорциональный циркуль из Музея Терм в Риме с соотношением 94:521.807 (как :( -1)). Мерные жезлы зодчего Хесира, изображенные на деревянной панели в его гробнице (Египет, 2800лет до н. э.), связаны по длине тем же соотношением, что и сторона и диагональ двойного квадрата (как :1). Эти находки указывают на использование древними архитекторами пропорций, порождаемых .