Площадь поверхности вращения

Рассмотрим поверхность, полученную вращением вокруг оси ОХ дуги АВ, описываемой уравнением y=f(x) на интервале [a,b]. Разобьем, как мы это уже неоднократно проделывали, интервал [a,b] на n частей, восставим в точках деления перпендикуляры к оси ОХ и куски дуг s заменим прямыми отрезками, соединяющими концы дуг. Площадь поверхности вращения есть предел, к которому стремится площадь поверхности, образованной вращением ломаной линии, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длины звеньев стремятся к нулю. В этом определении мы, как обычно, пользуемся эквивалентностью длины дуги и хорды (когда длина дуги мала). Для одной узкой полоски поверхности, площадь вычисляется по формуле: S_i2yds, где – длина i-го звена ломаной (рис. 9). Из этого соотношения можно непосредственно вывести формулу для вычисления площади поверхности вращения:

Если поверхность образована вращением кривой вокруг оси OY, то все рассуждения сохраняются, но х и у меняются местами: S_i2хds и переменной интегрирования будет у (рис. 10): Например, вычислим площадь поверхности шара (рис.11). В полярных координатах формула поверхности фигуры выглядит следующим образом: , и для шара R()=Rcos. Следовательно:

.

Найдем площадь поверхности маковки, образованной вращением вокруг оси OY дуг окружностей. Рассмотрим два варианта.

1. Маковка состоит из сегмента высоты h шара радиуса R и, начиная с 60-ой параллели, - поверхности вращения дуги окружности того же радиуса R вокруг вертикали. Сопряжение дуг гладкое, они имеют общую касательную (рис. 12а).

Площадь сферической части маковки S₁ ищется по известной формуле площади сегмента шара: S₁=2Rh. Площадь верхней части маковки S₂ – площадь поверхности вращения дуги окружности вокруг оси OY. С дугами окружности проще работать в полярной системе координат. Возьмем в качестве переменной интегрирования угол  (рис. 12б) и применим те же рассуждения.

Выпишем, чему равна боковая поверхность узкой цилиндрической полоски. Величина радиуса цилиндра равна R-Rcos=R(1-cos). Величина образующей ds=Rd. Следовательно,

В нашем конкретном случае точке перегиба, до которой мы интегрируем, соответствует значение ₀=60=/3 (силуэт верхней части маковки состоит из 2-х дуг окружности, центральный угол которых равен 60).

S=S₁+S₂=2Rh+2R²(/3-sin/3)=2Rh+2R²(/3- =2Rh+2R²0,18

Для шлема вместо слагаемого 2R²0,18 по формуле S₂=2Rh получается величина:

2R²(1- =2R²0,13, то есть на вогнутую верхушку маковки идет материала ("золота") на 38,5% больше (0,05:0,13=0,385)

2. Маковка с раздвинутыми боками (рис. 13а).

Для того чтобы найти поверхность такой маковки, выпишем формулу для вычисления поверхности вращения выпуклой дуги окружности, центр которой находится на расстоянии а от оси вращения. Такая поверхность не будет частью сферы. Это часть тора. Самый простой пример тора – хорошо всем известный бублик. Лежащий горизонтально бублик получается вращением вокруг вертикальной оси целой окружности. Если вращать не всю окружность, а только некоторую дугу окружности, то получится часть поверхности тора. Как видно из чертежа 13б величина радиуса узкого цилиндра, боковая поверхность которого нас интересует, равна а+Rcos. Длина образующей ds=Rd. Следовательно,

Для ₀=60=/3 S₂=2Ra/3+