Производная и ее геометрический смысл

Производной функции y=f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции y=f(x₀+x)-f(x₀) к приращению аргумента х при произвольном стремлении х к нулю, если такой предел существует. Обозначается производная функции f(x) в точке х₀ символом f'(x₀). Таким образом:

Можно использовать и другие обозначения:

Примеры

1. y=kx. Возьмем произвольную точку х, и найдем значение соответствующего предела:

2. у=х².

Геометрический смысл производной состоит в том, что угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой f(x) в точке х_0, есть f'(x₀) (рис. 11) и, следовательно, уравнение касательной к графику в точке М_0, имеет вид:

y-y₀=k(x-x₀)=f'(x₀)(x-x₀).

Е сли вычислять производную в различных значениях х, принадлежащих некоторому множеству, например, отрезку [a,b], то величина ее будет зависеть от значения х. Тем самым, можно говорить о производной функции, определенной на этом множестве. Производную функции обозначают f'(x).

Если функция в некоторой точке х₀ имеет производную, то она в этой точке непрерывна. Это следует из соотношения:

Отсюда уf'(x₀)x и у0 при х0, то есть:

f(x₀+x)f(x₀) (х0). Это же соотношение можно переписать так:

f(x₀+x)-f(x₀)f'(x₀)x, или f(x₀+x)f(x₀)+f'(x₀)x

Линейная часть приращения функции, выражающаяся через производную, называется дифференциалом функции. Он обозначается dy. Полное приращение у в точках, в которых существует производная, можно представить в виде: у=f(x+x)-f(x)=f'(x)x+(x), где (х)<<x (<< означает много меньше).

dy=f'(x)x=f'(x)dx (x=dx - дифференциал аргумента равен приращению аргумента).

Основные правила дифференцирования

Мы показали, как вычисляется производная функции y=kx. Это лишь самые простой пример вычисления производной. Применяя похожие рассуждения, можно найти производные всех основных элементарных функций. Приведем таблицу этих производных.

Таблица основных формул дифференцирования.

1. y=c, y'=0, c – постоянная

2. y=x^, y'=x^-1 (0), для целого n y=xⁿ, y'=nx^n-1 и (х0)

3. y=a^x, y'=a^xlna, если a=e и y=e^x, y'=e^x

4. y=log_ax,

5. y=sinx, y'=cosx, у=arcsinx,

6. y=cosx, y'=-sinx, у=arccosx,

7. y=tgx, , у=arctgx,

8. y=ctgx, , у=arcctgx,

Для вычисления производных сложных функций и функций, получающихся из основных с помощью сложения, вычитания, умножения и деления, надо руководствоваться следующими правилами.

Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х, тогда справедливы следующие правила дифференцирования:

1. (cu),'=cu', где с – постоянная;

2. (uv)=u'v';

3. (uv)'=u'v+v'u;

4. 

5. Если y=f(u), и u=(x), то есть у есть сложная функция от х: y=f((x)), то:

Если y=f(u), u=(t), t=(x), то - "цепное правило" (в случае "цепи" из большего числа функций поступают аналогично).

Примеры

y=2e^x+3lnx-5; y'=2e^x+31/x.

y=x e^x, y'=(x)^' e^x+x(e^x)^'=e^x+xe^x=e^x(1+x)

Производные высших порядков

Пусть f'(x) есть производная от функции f(x). Тогда производная от функции f'(x) называется второй производной (или производной второго порядка) от функции f(x) и обозначается f''(x). Третья производная - это производная от второй производной и т.д. - n-ая производная - это производная от n-1-ой производной.