Эллипс как сжатая окружность. Каноническое уравнение эллипса

Если окружность, центр которой находится в начале координат, равномерно сжать по оси Y к оси Х, то она преобразуется в кривую, которая называется эллипс (рис.4а). Поделим обе части уравнения окружности на а². Для того чтобы произвести сжатие вдоль оси Y с коэффициентом , где b<a, уравнение надо изменить - в нем перед переменной y надо поставить коэффициент . То есть уравнение окружности обратится в уравнение:

или

Для контроля - после сжатия точка (0,а) переходит в точку (0,b). Полученное нами уравнение – каноническое уравнение эллипса.

Построение овала с помощью циркуля и линейки. Характеристический прямоугольник. Фокусы эллипса

Процедуру построения эллипса из окружности путем сжатия можно выполнить с помощью циркуля и линейки следующим образом. Проводим две концентрические окружности радиуса OA=a и OВ=b. Через центр О проводим произвольный луч ОР. Через точки К и N, в которых OР встречает две окружности, проводим прямые, параллельные осям Х и Y. Эти прямые пересекутся в точке M. Ее ордината MQ меньше ординаты NQ точки N, лежащей на окружности радиуса а, причем MQ:NQ=b:a. Значит, точка M лежит на искомом эллипсе. Меняя направление луча ОР, получим новые точки эллипса (рис. 4). На рисунке 5 показано, как построить овал, похожий на эллипс с полуосями а и b (когда а и b отличаются друг от друга не слишком сильно), из дуг окружностей двух радиусов. Для этого надо на отрезке АВ от точки В отложить отрезок длины a-b, поставить точку Е и провести перпендикуляр через середину отрезка АЕ до пересечения с прямой BD. Точку пересечения с прямой BD назовем О₁, точку пересечения с прямой АС назовем О₂. Из этих точек, как из центров, проведем две сопрягающиеся дуги, радиусами О₁В и О₂А, соответственно. Центры О₃ и О₄ симметричны центрам О₁ и О₂. Если на том же чертеже построить опорные точки для эллипса методом сжатия окружности, будет видно, насколько сильно различаются линии овала и эллипса.

Из уравнения эллипса можно заключить, что оси координат являются осями симметрии эллипса. Центр симметрии О называется центром эллипса. Эллипс можно вписать в прямоугольник, который называется характеристическим (рис. 6). Длины сторон прямоугольника ищутся из простых соображений. Из уравнения эллипса следует, что . Аналогично, . Следовательно, длины сторон характеристического прямоугольника равны 2a и 2b, соответственно. Числа а и b - называются полуосями эллипса. Большая полуось называется главной. Из точки В₁ проведем дугу окружности радиуса а, точки пересечения этой дуги с осью симметрии эллипса А₁А₂ назовем F₁ и F₂. Это фокусы эллипса. Расстояние между ними обозначим через 2c. Ось симметрии, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью, а величина с (расстояние от центра эллипса до фокуса) – фокусное расстояние эллипса. Фокусное расстояние эллипса – очень важная характеристика. Эллипс можно задавать и с помощью величины его главной полуоси и фокусного расстояния. Величины a b и c, являясь катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника, связаны друг с другом простыми соотношениями (рис. 6):

Сумма расстояний от вершины В₁ эллипса до фокусов равна 2а. Для любой другой точки эллипса сумма расстояний r₁+r₂ от нее до фокусов тоже равна 2а (рис. 6). Обычно эллипс так и определяют – как геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (она равна 2а и она больше расстояния между фокусами, равного 2с). Каноническое уравнение эллипса можно вывести и из соотношения MF₁+MF₂=r₁+r₂=2a, используя, что F₁F₂=2c. Надо переписать его в координатной форме и избавиться от корней - перенести один из корней в правую часть уравнения, возвести обе части в квадрат, и еще раз избавиться от корня с помощью возведения в квадрат. Если исходить из этого определения, то то, что эллипс – сжатая окружность, выводится из его уравнения, как свойство.

Нормаль и касательная к эллипсу являются биссектрисами соответственно внутреннего и внешнего углов между радиусами-векторами, проведенными из точки касания в фокусы (рис 7). На чертеже видно, что луч, выходящий из F₁, отразившись от касательный по формуле "угол падения равен углу отражения", попадает в фокус F₂.

O₃

Если а>b, то эллипс вытянут вдоль оси X, и число а называют большой полуосью. И фокусы расположены на оси X. Если же b>а, то эллипс вытянут вдоль оси Y. И фокусы расположены на оси Y. Для него все рассуждения сохраняются, но с заменой в них x на y и а на b, соответственно. Очевидно, что если а=b, то фокусное расстояние обращается в ноль, фокусы совпадают и эллипс превращается в окружность с радиусом а и с центром в начале координат. Так что окружность – это частный случай эллипса (рис. 8).

Уравнение - уравнение эллипса с центром в точке C(d,e).

Примеры

1.Составьте уравнение линии, полученной сжатием окружности х²+у²=25 по оси Y к оси Х с коэффициентом сжатия k, если k=3\5.

Решение. Заданная окружность вписывается в квадрат со стороной 5. Следовательно, большая полуось эллипса а=5. По условию задачи , отсюда b=3 и уравнение эллипса:

2. При проектировании окружности на какую-нибудь плоскость Р диаметр АА₁, параллельный этой плоскости, проектируется в натуральную величину. А все хорды, перпендикулярные к этому диаметру, сокращаются в отношении, равном cos, где  - угол между плоскостью окружности Р₁ и плоскостью Р. Поэтому проекция окружности есть эллипс с большой осью 2а=АА₁ и коэффициентом сжатия k=cos (малая полуось равна acos) (рис. 9).

3. Эллипс используется в черчении для изображения окружности, расположенной не в плоскости чертежа, и в живописи при изображении окружности, не находящейся в плоскости, параллельной плоскости изображения (рис.10а). Шар изображают окружностью. Для того чтобы показать его объемность, в нем изображается "экватор" в виде эллипса и полюс Р (рис. 10б). Изображение полюсов получается параллельным переносом изображений полюсов на виде шара слева. Можно этот дополнительный чертеж не строить, а достаточно заметить, что из равенства: О₂СО=Р₂РО=Р₁РО=Q₁QО следует равенство: OC=OD=PP₁=QQ₁ и точки Р и Q выбираются так, чтобы выполнялись эти равенства.