
- •Глава 1: Проценты 6
- •Глава 2: Арифметическая и геометрическая прогрессии 13
- •Глава 3: Геометрические построения в орнаментах и мозаиках 21
- •Глава 4: Пропорции 41
- •Глава 5: Немного о математике храмов Древней Руси (XI-xiIвв.) 57
- •Глава 7: Измерение фигур 76
- •Глава 8: Метод координат 87
- •Глава 9: Функции и графики 103
- •Глава 10: Конические сечения (коники). Кривые 2-го порядка 111
- •Глава 11: Непрерывность функции. Производная и кривизна 122
- •Глава 12: Интегральное исчисление 133
- •Глава 1 Проценты
- •Понятие процента
- •Абсолютная и относительная погрешность
- •Проценты вокруг нас
- •Применение процентов в банковской практике. Начисление процентов на вклад по простой и сложной схеме
- •Использование приближенных формул и таблиц, когда n велико
- •Сравнение сложной и простой схемы
- •Глава 2 Арифметическая и геометрическая прогрессии Метод полной индукции
- •Арифметические прогрессии
- •Геометрическая прогрессия
- •Бесконечные прогрессии
- •Примеры из финансовых расчетов
- •Глава 3 Геометрические построения в орнаментах и мозаиках Основные построения с помощью циркуля и линейки
- •Деление окружности на равные части с помощью циркуля и линейки
- •Построение логарифмической спирали
- •Построение узоров в круге на основе сеток
- •Движения на плоскости – перенос, поворот на угол , симметрии
- •Симметрия в орнаментах
- •Розетки
- •Бордюры
- •Решетки
- •Симметричные мозаики (паркеты)
- •Глава 4 Пропорции Понятие пропорции
- •Преобразование подобия. Гомотетия
- •Пропорция . Нормальный полиграфический лист
- •Метод «квадрата и его диагонали» в русской архитектуре. Восьмерики
- •Средние значения двух величин
- •Золотое сечение (деление отрезка в среднем и крайнем отношении)
- •Последовательность Фибоначчи и золотое сечение
- •Спираль Дюрера и «золотые» треугольники
- •"Золотая" пропорция и правильные многоугольники
- •«Золотая» прогрессия. «Золотые» модулеры
- •Производные «золота»
- •Глава 5 Немного о математике храмов Древней Руси (XI-xiIвв.)
- •Геометрические построения, применявшиеся древними мастерами
- •Некоторые стандарты планировки интерьера храма
- •Построение “золотого” плана циркулем и линейкой
- •Двухстолпный и бесстолпный храмы
- •План четырехстолпного храма
- •Глава 6 Размерение сооружений, имеющих "золотые" пропорции Модулер Корбюзье
- •Меры древней Руси
- •Глава 7 Измерение фигур
- •Измерение температуры
- •Тригонометрические функции
- •Решение треугольников
- •Площади плоских фигур
- •Многогранники
- •Правильные многогранники
- •Правильные пирамиды
- •Египетские пирамиды
- •Объемы фигур
- •Площади боковых поверхностей
- •Глава 8 Метод координат
- •Декартовы координаты
- •Векторы на плоскости
- •Полярная система координат
- •Связь между декартовыми координатами и полярными
- •Линии и их уравнения
- •Уравнение спирали Архимеда
- •Уравнение логарифмической спирали
- •Декартова система координат в трехмерном пространстве
- •Векторы в трехмерном пространстве
- •Сферические координаты
- •Сферические координаты в географии.
- •Орнаменты на сфере. Изогнутые крыши
- •Глава 9 Функции и графики Понятие функции
- •Четные и нечетные функции.
- •Периодические функции.
- •Монотонные функции.
- •Элементарные функции
- •Операции над графиками двух функций
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Изменение уравнения линии при изменении системы координат
- •Глава 10 Конические сечения (коники). Кривые 2-го порядка Гипербола
- •Парабола
- •Эллипс как сжатая окружность. Каноническое уравнение эллипса
- •Построение овала с помощью циркуля и линейки. Характеристический прямоугольник. Фокусы эллипса
- •Эксцентриситет эллипса и параболы
- •Конические сечения
- •Кривые второго порядка
- •Проекции и конические сечения
- •Поверхности второго порядка в пространстве
- •Шары, эллипсоиды, конусы, цилиндры, параболоиды, гиперболоиды
- •Прямолинейные образующие
- •Глава 11 Непрерывность функции. Производная и кривизна Понятие предела
- •Непрерывность функции. Точки разрыва функции
- •Производная и ее геометрический смысл
- •Основные правила дифференцирования
- •Производные высших порядков
- •Роль производных в приближенных вычислениях
- •Производная и скорость изменения функции. Скачок производной
- •Знак производной и монотонность функции. Обращение производной в ноль
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •Выпуклые, вогнутые и кровли с перегибом
- •Кривизна дуги
- •Глава 12 Интегральное исчисление Неопределенный интеграл
- •Основные методы интегрирования
- •Определенный интеграл. Задача о площади
- •Вычисление определенного интеграла
- •Основные свойства определенного интеграла.
- •Вычисление длин дуг.
- •Вычисление площади и длины дуги в полярных координатах
- •Вычисление длины окружности и площади круга и эллипса
- •Объем тела вращения
- •Площадь поверхности вращения
- •Ответы к задачам
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Приложение
- •Изображение окружности и шара
- •Гирлянды (парабола)
- •Формулы
Элементарные функции
Основными элементарными функциями называются следующие функции.
Степенные функции: у=х, где - действительное число.
Ее поведение очень сильно зависит от значения .
а) =0, y=const (рис. 5а)
б) N (натуральное, т.е. целое положительное), функция определена на всей числовой оси. На рисунках. 5б,в,г приведены графики функций у=х для целых положительных значений =1, =2, =3.
в) - целое отрицательное число; функция определена при всех значениях х0 (рис. 6а)
г) - дробное (на рис. 6б,в даны графики степенных функций при =1/2 и =1/3).
Показательная функция: у=ах определена для всех х и положительна. При а>1 она монотонно возрастает, при 0<a<1 монотонно убывает (рис 7а,б). Для любого а у(0)=а0=1
Логарифмическая функция: y=logax определена для всех x>0. Число а называется основанием логарифма (a>0, a1). Напомним, определение логарифма:
и формулу перехода от одного основания к другому: logaX=logbXlogab=logbX:logba. Его основные свойства: logab=loga+logb,
, logam=mloga,
На практике часто используются логарифмы по основанию 10. Для них принята сокращенная запись lg. При а>1 функция монотонно возрастает, при 0<a<1 монотонно убывает (рис 7в,г). loga1=0 при любом основании а
В математике особую роль играют показательная и логарифмическая функция с основанием а=е. Число е – иррациональное число. Его можно записать в виде бесконечной непериодической дроби е=2,71828182845… Логарифм по основанию а=е называют натуральным и записывают обычно в виде y=lnx. Показательную функцию y=ex называют экспоненциальной функцией, иногда ее записывают так: у=ехрх. Заметим, что ax=exlna (в силу того, что по определению логарифма a=elna).
Кроме названия функции, указания операций (+, -, , :) и основных величин, обозначаемых через x, y, z,…, в формулу могут входить константы и параметры – константы, значения которых не заданы. Их обычно обозначают латинскими буквами a, b, c,… Например, для функций ах и logax a – это параметр.
Тригонометрические функции: y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx. Аргументом является угол в радианах.
Функции y=sinx, y=cosx определены при всех значениях х, функция y=tgx определена на всей числовой оси, кроме точек: x=(2k+1)/2, (k=0, 1, 2,…), функция y=ctgx определена на всей числовой оси, кроме точек: x=k (k=0, 1, 2,…) (рис. 8)
5. Обратные тригонометрические функции: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.
Эти функции являются обратными к тригонометрическим. Функция y=arcsinx определяется следующим образом: по заданному значению sinx=с, определяется у – угол в радианах, синус которого равен заданному значению с (задана хорда, найти длину дуги). Функция y=arccosx определяется так: по заданному значению cosx=с, определяется у – угол в радианах, косинус которого равен заданному значению с. Функция y=arctgx: задано значение tgx=с, у – величина угла, тангенс которого равен заданному значению с. Функция y=arcctgx: задано значение ctgx=с, у – величина угла, котангенс которого равен заданному значению с. Обратная функция определяется на интервале, на котором любое ее значение принимается только один раз. При определении функции, обратной к данной, значения функции и аргумента меняются ролями. Проще всего это понять, если задана таблица функции - по значению аргумента таблица позволяет определить значение функции. Эта же таблица может использоваться, как таблица обратной функции. Но тогда ею надо пользоваться по-другому. Среди значений функции надо отыскать значение, самое близкое к тому, которое задано, и в качестве ответа взять из таблицы аргумент, которому соответствует это значение функции. Например, при расчете угла наклона боковой грани египетской пирамиды , было получено, что tg=1,35. В Таблице значений тригонометрических функций Приложения находим, что такое значение тангенса соответствует углу, равному примерно 53,5.
Взаимно обратными являются и рассмотренные нами ранее функции:
показательная
у=ах
и логарифмическая y=logax,
степенная у=х
и
при
разных значениях ,
например, у=х2
и
.
Функции,
которые получаются из основных
элементарных функций с помощью конечного
числа арифметических операций (сложения,
вычитания, умножения и деления) и операций
подстановки ("взятие функции от
функции"), называются элементарными
функциями.
Например,
- элементарные функции.