
- •Глава 1: Проценты 6
- •Глава 2: Арифметическая и геометрическая прогрессии 13
- •Глава 3: Геометрические построения в орнаментах и мозаиках 21
- •Глава 4: Пропорции 41
- •Глава 5: Немного о математике храмов Древней Руси (XI-xiIвв.) 57
- •Глава 7: Измерение фигур 76
- •Глава 8: Метод координат 87
- •Глава 9: Функции и графики 103
- •Глава 10: Конические сечения (коники). Кривые 2-го порядка 111
- •Глава 11: Непрерывность функции. Производная и кривизна 122
- •Глава 12: Интегральное исчисление 133
- •Глава 1 Проценты
- •Понятие процента
- •Абсолютная и относительная погрешность
- •Проценты вокруг нас
- •Применение процентов в банковской практике. Начисление процентов на вклад по простой и сложной схеме
- •Использование приближенных формул и таблиц, когда n велико
- •Сравнение сложной и простой схемы
- •Глава 2 Арифметическая и геометрическая прогрессии Метод полной индукции
- •Арифметические прогрессии
- •Геометрическая прогрессия
- •Бесконечные прогрессии
- •Примеры из финансовых расчетов
- •Глава 3 Геометрические построения в орнаментах и мозаиках Основные построения с помощью циркуля и линейки
- •Деление окружности на равные части с помощью циркуля и линейки
- •Построение логарифмической спирали
- •Построение узоров в круге на основе сеток
- •Движения на плоскости – перенос, поворот на угол , симметрии
- •Симметрия в орнаментах
- •Розетки
- •Бордюры
- •Решетки
- •Симметричные мозаики (паркеты)
- •Глава 4 Пропорции Понятие пропорции
- •Преобразование подобия. Гомотетия
- •Пропорция . Нормальный полиграфический лист
- •Метод «квадрата и его диагонали» в русской архитектуре. Восьмерики
- •Средние значения двух величин
- •Золотое сечение (деление отрезка в среднем и крайнем отношении)
- •Последовательность Фибоначчи и золотое сечение
- •Спираль Дюрера и «золотые» треугольники
- •"Золотая" пропорция и правильные многоугольники
- •«Золотая» прогрессия. «Золотые» модулеры
- •Производные «золота»
- •Глава 5 Немного о математике храмов Древней Руси (XI-xiIвв.)
- •Геометрические построения, применявшиеся древними мастерами
- •Некоторые стандарты планировки интерьера храма
- •Построение “золотого” плана циркулем и линейкой
- •Двухстолпный и бесстолпный храмы
- •План четырехстолпного храма
- •Глава 6 Размерение сооружений, имеющих "золотые" пропорции Модулер Корбюзье
- •Меры древней Руси
- •Глава 7 Измерение фигур
- •Измерение температуры
- •Тригонометрические функции
- •Решение треугольников
- •Площади плоских фигур
- •Многогранники
- •Правильные многогранники
- •Правильные пирамиды
- •Египетские пирамиды
- •Объемы фигур
- •Площади боковых поверхностей
- •Глава 8 Метод координат
- •Декартовы координаты
- •Векторы на плоскости
- •Полярная система координат
- •Связь между декартовыми координатами и полярными
- •Линии и их уравнения
- •Уравнение спирали Архимеда
- •Уравнение логарифмической спирали
- •Декартова система координат в трехмерном пространстве
- •Векторы в трехмерном пространстве
- •Сферические координаты
- •Сферические координаты в географии.
- •Орнаменты на сфере. Изогнутые крыши
- •Глава 9 Функции и графики Понятие функции
- •Четные и нечетные функции.
- •Периодические функции.
- •Монотонные функции.
- •Элементарные функции
- •Операции над графиками двух функций
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Изменение уравнения линии при изменении системы координат
- •Глава 10 Конические сечения (коники). Кривые 2-го порядка Гипербола
- •Парабола
- •Эллипс как сжатая окружность. Каноническое уравнение эллипса
- •Построение овала с помощью циркуля и линейки. Характеристический прямоугольник. Фокусы эллипса
- •Эксцентриситет эллипса и параболы
- •Конические сечения
- •Кривые второго порядка
- •Проекции и конические сечения
- •Поверхности второго порядка в пространстве
- •Шары, эллипсоиды, конусы, цилиндры, параболоиды, гиперболоиды
- •Прямолинейные образующие
- •Глава 11 Непрерывность функции. Производная и кривизна Понятие предела
- •Непрерывность функции. Точки разрыва функции
- •Производная и ее геометрический смысл
- •Основные правила дифференцирования
- •Производные высших порядков
- •Роль производных в приближенных вычислениях
- •Производная и скорость изменения функции. Скачок производной
- •Знак производной и монотонность функции. Обращение производной в ноль
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •Выпуклые, вогнутые и кровли с перегибом
- •Кривизна дуги
- •Глава 12 Интегральное исчисление Неопределенный интеграл
- •Основные методы интегрирования
- •Определенный интеграл. Задача о площади
- •Вычисление определенного интеграла
- •Основные свойства определенного интеграла.
- •Вычисление длин дуг.
- •Вычисление площади и длины дуги в полярных координатах
- •Вычисление длины окружности и площади круга и эллипса
- •Объем тела вращения
- •Площадь поверхности вращения
- •Ответы к задачам
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Приложение
- •Изображение окружности и шара
- •Гирлянды (парабола)
- •Формулы
Применение процентов в банковской практике. Начисление процентов на вклад по простой и сложной схеме
Очень важную роль играют проценты в банковских расчетах.
Размер
прибыли, которую вам начислят по вкладу
через год, зависит от размера вклада –
чем больше вклад, тем больше прибыль.
Для разных типов вкладов (пенсионный,
срочный, валютный и т.д.) банк объявляет
процент годовой прибыли по вкладу
выбранного вами типа. Например, для
пенсионного вклада – это 8% годовых, для
простого – 5% годовых, для валютного -
6% и т.д. В общем случае процент годовой
прибыли обозначим через р.
Это означает, что на каждый вложенный
рубль (для валютного вклада - доллар)
через год банком вам будет начислена
прибыль в размере р
копеек (или для валютного вклада –
центов). Тем самым, через год на вашем
счету вместо рубля (доллара), окажется
рублей (долларов), а вместо S
рублей (долларов)
рублей
(долларов). В задачах из банковской сферы
величина
называется ставкой наращения. Если вы
не снимете свой вклад еще год, то ваш
увеличившийся вклад S1
вырастет еще на р процентов и через 2
года у вас на счету окажется:
рублей
(долларов), а через n
лет
рублей (долларов).
Такая схема начисления процентов называется сложной.
Начисление
процентов называется простым
(простые проценты),
если начисление процентов производится
каждый раз только на первоначальную
сумму, а на прибыль не производится.
Указанная схема соответствует, например,
такой ситуации. Вы кладете в банк S
рублей под р% годовых. В конце года вам
начисляется прибыль, вы ее снимаете и
ваш первоначальный вклад сохраняется.
На следующий год вы опять снимаете
прибыль и так поступаете каждый год в
течение n
лет. Если вы через n
лет снимете и вклад S,
то окажется, что, положив в банк S
рублей на n
лет, вы получили возможность распорядиться
суммой в
рублей,
из которых S
рублей – ваши деньги, а Sni
– насчитанная на них прибыль.
Для того, чтобы вклад не обесценивался из-за инфляции ставка процента i должна быть больше темпа инфляции.
Использование приближенных формул и таблиц, когда n велико
Расчеты по формулам сложных процентов при больших n становятся затруднительными. В этом случае хорошую оценку наращенного значения позволяет получить следующая формула, верная при больших значениях х:
,
где е=2,7182818…
- одна из важнейших констант в математике.
Значок означает в данном случае, что чем больше х, тем меньше разница между правой и левой частью выражения. Эту же формулу можно записать следующим образом:
,
но уже если значение у
мало.
С помощью элементарного преобразования из этих формул можно получить такие формулы:
Пример
Вклад величины S положен в банк под 5% годовых. Начисление процентов производится в конце года от всей накопившейся суммы (сложная схема). Во сколько раз увеличится вклад через 20 лет, через 40 лет?
Решение:
S20=S(1+0,05)20=S(1+5:100)100:5Se
S40=S(1+0,05)40=S(1+5:100)(100: 5)2Se2
Т. е., за 20 лет вклад вырастет примерно в е2,72 раза, за 40 лет в е27,39 раз.
Для
облегчения расчетов создано множество
таблиц и пакетов прикладных программ.
В качестве примера приводим таблицу, в
которой указаны значения множителя
наращения
,
использующегося в формулах наращения
по сложным процентам для наиболее часто
используемых процентов и числа периодов
наращения n.
Такая таблица не только избавляет от вычисления высоких степеней в задаче вычисления накопленного капитала, но и позволяет дать оценки при решении обратной задачи – за сколько периодов капитал увеличится в k раз.
Таблица демонстрирует быстрый рост множителя наращения при больших n (капитал лежит очень много лет).
Попробуем с помощью таблицы оценить, каким стал, например, такой вклад. Царское правительство во время 1-ой мировой войны в счет платы за закупленное за рубежом оружие переправило в банки Японии и ряда других стран большое количество золота. Оружие получено не было, вклады остались в банках. Переправлялся за границу и государственный золотой запас России, составлявший 2,5 тыс. тонн золота. В современных ценах это примерно $40 млрд. С тех пор прошло больше 80 лет. Таблица позволяет оценить, во сколько раз увеличилась за это время вложенная сумма. При росте на 6% в год эта сумма выросла в 100 раз. Некоторые эксперты оценивают современную стоимость вклада в 4 триллиона долларов, что и демонстрирует наша таблица (стоит заметить, что ни судьба, ни сумма вкладов неизвестны).
Или такой пример. 350 лет назад за остров Манхеттен было уплачено 24 доллара. Современная его стоимость 40млрд. долларов. То есть за 350 лет произошло увеличение его стоимости в 1,7млрд. раз. Какой годовой ставке процента соответствует такой рост? Таблица (более подробная, чем наша) показывает, что эта ставка приблизительно равна 6% (точный ответ – 6,3%).
Таблица 1: Множители
наращения (сложные проценты) (1+
)n
n |
Ставка процентов p – множитель наращения (1+ )n |
|||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
10 |
12 |
15 |
20 |
|
1 |
1,01 |
1,02 |
1,03 |
1,04 |
1,05 |
1,06 |
1,07 |
1,08 |
1,1 |
1,12 |
1,15 |
1,2 |
2 |
1,02 |
1,04 |
1,06 |
1,08 |
1,10 |
1,12 |
1,14 |
1,17 |
1,21 |
1.25 |
1,32 |
1,44 |
3 |
1,03 |
1,06 |
1,09 |
1,13 |
1,16 |
1,19 |
1,22 |
1,26 |
1,33 |
1,40 |
1,52 |
1,73 |
4 |
1,04 |
1,08 |
1,13 |
1,17 |
1,22 |
1,26 |
1,31 |
1,36 |
1,46 |
1,57 |
1,75 |
2,07 |
5 |
1,05 |
1,10 |
1,16 |
1,22 |
1,28 |
1,34 |
1,40 |
1,47 |
1,61 |
1,76 |
2,01 |
2,49 |
6 |
1,06 |
1,13 |
1,19 |
1,26 |
1,34 |
1,42 |
1,50 |
1,59 |
1,77 |
1,97 |
2,31 |
2,99 |
7 |
1,07 |
1,15 |
1,23 |
1,32 |
1,41 |
1,50 |
1,60 |
1,71 |
1,95 |
2,21 |
2,66 |
3,58 |
8 |
1,08 |
1,17 |
1,27 |
1,37 |
1,48 |
1,59 |
1,72 |
1,85 |
2,14 |
2,48 |
3,06 |
4,30 |
9 |
1,09 |
1,19 |
1,30 |
1,42 |
1,55 |
1,69 |
1,84 |
2,00 |
2,26 |
2,77 |
3,52 |
5,16 |
10 |
1,1 |
1,22 |
1,34 |
1,48 |
1,63 |
1,79 |
1,97 |
2,16 |
2,59 |
3,11 |
4,05 |
6,19 |
20 |
1,22 |
1,49 |
1,81 |
2,19 |
2,65 |
3,21 |
3,87 |
4,66 |
6,73 |
9,65 |
16,4 |
38,3 |
30 |
1,35 |
1,81 |
2,43 |
3,24 |
4,32 |
5,74 |
7,61 |
10,1 |
17,5 |
30 |
66,2 |
237 |
40 |
1,49 |
2,21 |
3,26 |
4,80 |
7,04 |
10,3 |
15 |
21,7 |
45,3 |
93 |
268 |
1470 |
50 |
1,64 |
2,69 |
4,38 |
7,11 |
11,5 |
18,4 |
29,5 |
46,9 |
117 |
289 |
1084 |
9100 |
60 |
1,82 |
3,28 |
5,89 |
10,5 |
18,7 |
33 |
57,9 |
101 |
304 |
898 |
4384 |
56 тыс |
70 |
2,01 |
4 |
7,92 |
15,6 |
30,4 |
59,1 |
114 |
219 |
790 |
2788 |
17 тыс |
349 тыс |
80 |
2,22 |
4,86 |
10,6 |
23 |
50 |
106 |
224 |
472 |
2048 |
8658 |
72 тыс |
2 млн |
90 |
2,45 |
5,94 |
14,3 |
34,1 |
80,7 |
189 |
441 |
1019 |
5313 |
26 тыс |
290 тыс |
13 млн |
100 |
2,70 |
7,24 |
19,2 |
50,5 |
131 |
339 |
868 |
2200 |
13781 |
83523 |
1,2 млн |
83 млн |
200 |
7,29 |
52,4 |
368 |
2550 |
17161 |
115 тыс |
753 тыс |
4,8 млн |
|
|
|
|
400 |
53 |
2746 |
135 тыс |
6,5 млн |
289 мл |
13 млд |
0,6 трл |
|
|
|
|
|
У всех на памяти последняя денежная реформа в нашей стране, позволившая избавиться от трех нулей во всех ценах. В течение нескольких лет имела место высокая ежемесячная инфляция, что привело к росту цен более, чем в 1000 раз. Из таблицы находим, что множитель наращения 1000 соответствует средней инфляции в 15% в месяц в течение 50 периодов (4 года), или инфляции 12% в течение 60 периодов (5 лет). Заодно определяем, что инфляция 15% в месяц – это увеличение цен за год в 4,051,32=5,35 раз, а для 12% в месяц – в 3,111,25=3,89 раз.
Примеры
1. 20000 рублей положили в банк под 12% годовых. Какая сумма окажется на счету через 8 лет? Взяли в долг 20000 рублей с возвратом через 8 лет под 12% годовых. Сколько надо уплатить через 8 лет? (второй вариант той же задачи).
Решение:
Находим из таблицы, что капитал увеличится в 2,48 раза. (число 2,48 стоит на пересечении строки - число периодов 8 и столбца – годовая ставка 12%). Следовательно, через 8 лет вклад станет равным (надо будет вернуть): 200002,48=49600 рублей.
2. Какая должна быть ставка процента, чтобы капитал за 10 лет увеличился примерно в 1,5 раза?
Решение:
В строке, соответствующей 10 годам увеличение капитала в 1,48 раз находится в столбце, соответствующем годовой ставке 4%.